特殊函数概论习题解答 北京大学出版社 下载 pdf 电子版 epub 免费 txt 2025

《特殊函数概论》是著名学者王竹溪先生的著作，书中系统地讲述了一些主要的特殊函数，如超几何函数、勒让德函数、合流超几何函数、贝塞耳函数、椭圆函数、椭球谐函数、马丢(Mathieu)函数。原著书中有360多道习题，习题数目巨大，且难度很高，如果单由读者去自行解答，会给读者带来很大的困难和困惑。吴崇试教授根据书中内容，总结书中习题的解法，系统的编写了这一本一本配套《特殊函数概论》的习题解答书，书中不仅全面解答了原著中的所有习题，还对原著中存在的很多错误进行了纠正。

第一章 函数用无穷级数和无穷乘积展开

第二章 二阶线性常微分方程

第三章 伽玛函数

第四章 超几何函数

第五章 Legendre函数

第六章 合流超几何函数

第七章 Bessel函数

第八章 Weierstrass函数

第九章 忒塔函数

第十章 Jacobi椭圆函数

第十一章 Lame函数

第十二章 Mathieu函数

吴崇试

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1938年生，1962年毕业于北京大学物理系。北京大学物理学院教授，博士生导师。享受政府特殊津贴。一直从事数学物理方法课程的教学工作，担任课程主持人直至退休。1996—2016年担任高校数学物理方法研究会理事长。编著有《数学物理方法》《数学物理方法习题指导》《数学物理方法题解》《数学物理方法专题――复变函数与积分变换》《数学物理方法专题――数理方程与特殊函数》《和式与积分集录》等著作。

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本书是为王竹溪先生和郭敦仁先生的著作《特殊函数概论》一书专门编写的习题解答书。原书中有近400道题，均为证明题，难度很大。本书对于需要研学《特殊函数概论》一书的读者有很大的帮助。

• 作者：Hammer_ 发布时间：2017-02-03 18:29:03

  很久没摘录这么多了，五星好书！

• 作者：R. 发布时间：2017-12-15 09:43:02

  一本在内心等待已久的书：女性写就的时间之书。无穷辽阔也无穷细碎。迷人极了。

• 作者：溪边观鱼 发布时间：2014-05-18 19:40:01

  此书,章章金玉之论,掷地有金石之声

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  人类的生活目的不可能未有分歧。在目的一致的地方，便只存在手段问题，例如共产主义革命认为政治与道德问题最后都能转化为技术问题而得到解决。

  观念能够产生足以摧毁文明的巨大力量，而正是需要其他观念，才能进行化解与对抗。（P168）政治理论争端中最激烈的是服从与强制的问题。强制即剥夺他人的自由，但是什么是自由？剥夺了人们的什么自由？伯林在本文中试图考察两种核心的自由含义，即积极自由与消极自由，其中：

  1）消极自由回答这个问题：主体被允许或必须被允许不受别人干涉地作他有能力做的事情、成为他愿意成为的那个人的领域是什么？

  2）积极自由回答这个问题：什么东西或什么人，是决定某人做这个、成为这样而不是做那个、成为那样的那种控制或干涉的根源？（P170）

  消极自由：

  免于别人的阻碍地进行行动，不被他人阻止做我原本能够做的事情。“纯粹因没有内在的能力达到某个目的，不能叫缺少政治自由。”（P171）这一自由是英国古典政治哲学家们所使用的自由含义。（无限度地自由无法使人们自然地趋于联合，为了公正、幸福、文明等其他价值，自由主义者也主张以法律来限制自由，以保护每个人自己最低限度的神圣领域。）

  然而也有很多人指出，没有充分运用自由的适当条件，自由的价值便难以寻觅。个人自由并非人们的第一需要，在很多情况下，人们对物质条件的需求胜过对自由的需求。自由与其他一系列价值之间的冲突，是困扰许多自由主义者良心的缘由。伯林认为，这种冲突确实会存在但是自由本身的独立价值不容否认，他既不可与其他价值相混淆，也不会因为失去自由但获得了其他价值而得到补偿。“任何事物是什么就是什么，自由就是自由，既不是平等、公平、正义、文化，也不是人的幸福或良心的安稳……自由之所失也许会由公正、幸福或和平之所得来补偿，但是失去的仍旧失去了；说虽然我的自由主义的个人自由有可能失去，但是某种其他的社会的经济的自由可能增加，这是混淆了价值。”（P174）

  不论是对人性乐观的亚当斯密、洛克还是霍布斯及其支持者，都会同意人类的某些领域必须独立在社会控制之外，不管这个保留地多么小。不同的自由主义思想家也为自由开列了不同的清单，但是阻止权威入侵的论点始终未变。那种不能放弃的领地，被认为关联到“人性的本质”。如何划定一个合适的界限是一个变动不居的但永远可以商榷的话题，无论其标准来自于自然法、自然权利、功利原则、绝对命令、社会契约还是其他。（P175）

  接下来伯林以穆勒的自由观念为例谈到需要注意的三个方面：1）穆勒混淆了两个彼此有别的观念，即a）免于强制；和b）自由是发现真理的必要条件。这两者的关系至多是经验上的，但历史证据显示不出这种必然关联。2）这个学说是非常近代的观念。3）这种自由更多关心权威控制的范围，而不关心权威的来源。因此，自由与民主没有逻辑上的必然联系。“谁统治我”与“政府干涉我到何种程度”在逻辑上是有区别的。接下来开始引出积极自由的观念，即人们自我管理的要求实际上与保留行动的自由领地相比是同样深刻和悠久的愿望。积极自由与消极自由的观念是如此不同，在消极自由者眼中，积极自由预设了一种规定好的生活，因此而常常成为“残酷暴政的华丽伪装”。（P179）

  积极自由：

  积极自由源于成为自己的主人的愿望，希望生活能够取决于自己，自我成为主体而不是客体，是决定的而非被决定的。（P180）这与消极自由看似区别不大但最终朝着不同的方向发展。积极自由起源于对“自我控制”的比喻，“我是我自己的主人”究竟是什么意思？免于外在的强制有时可能还不够，因为我们可能是自身激情与欲望的奴隶。这一观念在自我中区分了支配性地位的自我与受支配地位的东西。支配性地位的自我被认为是理性的，更高级的，可以被理解为比个体更广的东西，如部落、国家、 社会。因此以真实自我之名所实施的强制声称是为了我们自己的利益，因为我们无知、盲目因而不明白自己真正需要什么。此时，强制者便倾向于无视个人或社会的实际愿望，以真实自我之名威逼拷打，不论其实际目标为何，必须与真正的、潜在的和未表达的自由选择相一致。（P182）伯林认为将这种强制说成不是强制，是对概念的混淆。自由的概念与对人、自我的定义直接相关联。“对人的定义加以足够的操纵，自由就会包含操纵者所希望的任何意义。晚近的历史使这一点太明显了，这不仅仅是一个学术问题。”（P183）

  积极自由观的一种导向：自我退却

  在积极自由的语义下，当人类无法实现自己希望追求的目标时，便不再感到自己是自己的主人。一种避免这种状态的方法是将自己从无法实现的欲望中解脱出来。“假如我不再执着于财产，不再关心我是否身陷囹圄，如果在我心中我已经扼杀了我的自然情感，那么他无法再让我屈服于他的意志，因为我剩下的一切已经不再会屈服于经验的恐惧与欲望。”（P184）这种自我退却的观念被认为是禁欲主义、寂灭论者、斯多葛派和佛教圣人的自我解脱之法。政治孤立主义和经济自给自足的自治，也沾染这样的态度。【通过缩小自我的范围，把自我受到强制的部分，视为我无法控制的领域。】这样的自我否定也许是正直、平静与精神力量的源泉，但绝对不是自由的扩展。为避免危险而无限制限缩自我的逻辑结论便是死亡。因为世界从不会是完全安全的。（P189）自由的真正扩展，必须依靠排除障碍来克服障碍。

  积极自由观的另一种导向：理性主义的极权

  在一种理性主义的自由观看来，数学真理原本看起来是一种外在于个人心智自由的阻碍，但是一旦我理解之后，他便不是强加给我的而是我自身的理性活动自然运作过程中自觉、自愿的东西。在音乐方面也是如此，乐谱这一自由活动的阻碍可以被变成自由活动本身的一个要素。理性主义的自由观念不是消极的，而是一种“自我导向”或“自我控制”的概念。即作为理性的主体将那些被证明为必然的存在，例如逻辑、物理学规律、数学、艺术法则等，吸收进我的本质中。（P192-193）这种积极的通过理性获得解放的学说成为了民族主义、共产主义、威权主义、极权主义的信条。

  理性的国家应该是在一个所有理性人都能接受的法律统治之下的。所以在这种状态下，强制与服从之间的界限应该是所有理性之人都会视为正确的界限，对这个问题应该存在一个唯一正确的答案。由此推论出，一个完全理性的计划将允许人们的“真实本性”充分发展，并促使其自我实现。因此也不可能存在强制，因为为所有人设计好的生活将与所有人的完全自由相吻合。而只有那些理性发展不充分的人，不理解其真实自我的人，才会反对理性所确立的法则。（P195）洛克、孟德斯鸠、康德、伯克在不同程度上都有这样共同的假定，即我们的真实本性的理性目的是一致或者必须应该一致。无论我们可怜的、无知的激情、经验自我多么激烈地反对这一点，自由并不是做蠢事或犯错误的自由。（P196）

  理想状态下的自由与法律和权威都是相一致的，一旦进入实践层面，便开始转向理性者对非理性者的必要的强制。费希特式的极权主义辩护。“即便在这个过程中人们遭受不幸与死亡，但是他们却达到了那种若非通过强制而入侵其生命否则无论如何也达不到的高度。”（P199）孔德的观点“为什么在化学和生物学中我们不允许自由思想，而在道德和政治中我们却允许。”（P200）理性主义的论证从个人责任与自我完善的学说出发，逐步转变为一种精英指导下的极权国家理论，这种论证即便在逻辑上无效，但在历史上与心理学上可以理解。

  康德式的个人主义为何会转向极权学说？此处概括了康德理论的基本假设：1）理性的自我导向能力属于所有人；2）道德领域没有专家和专业化的知识；3）促使人类自由的不是靠某种行动（否则便可以被强制实施），而是知道为什么我们要如此行动，因此自由是没有办法代替他人去做或让别人去做的。不过康德也承认法律如果是理性的则不会剥夺任何理性的自由。顺着这个思路，专制的大门打开了。在康德看来主体的命令必须由主体自己下达，但是实践中，个体无法约束自己时，则他人帮其约束。人们不能等到所有人都成为完全理性的个体，因为对公共福利负有责任。（P202）

  最后对这种论证的重新梳理：1）所有人都只有一个真正的目的即理性自我导向的目的；2）所有理性存在者的目的必然是单一、普遍、和谐的形式。有一些人比其他人更能意识到这一点；3）冲突和悲剧都源于理性与不充分的理性之间的碰撞，在完全理性者那里，这种冲突可以避免；4）所有人成为理性时，他们将服从出自他们自己的理性规律因此成为完全服从法律且完全自由的人。（P203）

  将自由与平等、博爱相混淆的反自由主义的观念：

  这种观念认为，尽管我们试图将个体与社会厌恶地区分开来，但是实际上二者高度关联。个体往往寻求的不是自由，而是承认。“我试图避免的仅仅是被忽视、被庇护、被轻视、或被想当然地对待而已——一句话，我不想被当做一个个体，具有我的未被充分认识的独特性。”（P204）然而伯林认为这种对地位与承认的渴望并不等同于个人自由，无论是消极还是积极。自由要求一种对权威的入侵的阻止，而承认需要的是联合、亲密理解、利益整合、同生共死。人们将自由与承诺这两种需求相混淆，进而与社会的自我导向概念（被解放的自我不再是个体而是社会整体）相混淆，才使人们一边屈服于寡头和权威一边认为自己得到了解放。（P207）

  伯林认为对自由这个词的每一种解释无论多么不同寻常，都必须包含最低限度的消极自由。必须存在一个在其中个体不受阻碍的领域。密尔与贡斯当的主张是：与社会生活的最低限度要求相适应的最大限度的不受干涉。

  积极自由的另一种表现形式：主权

  法国革命是集体自我导向的积极自由的爆发。积极自由与消极自由的冲突在贡斯当那里也得到了清晰的表达，即法国的革命仅仅是对权威的转移而未能真正关心消极自由下的核心问题，即权威的范围到底应该有多大。（P212）“没有限制的权威无论掌握在谁手中都将注定毁灭所有人。”（P212）

  理想的社会的状况：贡斯当、密尔、托克维尔所主张的两个原则：1）只有权利而非权力才能被视为绝对的；2）存在着并非人为划定的疆界，在其中人必须是不可侵犯的；这些疆界的确定依据这样一些规则：他们被如此广泛地接受以致于对他们的遵守已经进入所谓正常人的概念之中因此也进入什么样的行动是非人性与不健全的概念之中。（P214）积极自由与消极自由的区分是根本性的，这不是对同一个概念的两种不同解释，而是关于生活目的的两种分歧深刻、无法调和的态度。前一种人希望约束权威，而后一种希望权威掌握在自己手中。（P215）

  自由主义的多元论辩护：

  最后一节提到另一种观念要求个体为社会牺牲自己。其信念基础在于社会存在着最终解决之道，人类信奉的价值最终都是相互包容或支撑的。但伯林认为并非所有价值都是相容的，我们在日常经验中遭遇的世界是需要在同等终极的目的、同等绝对的要求之间做出选择，且某些目的的实现必然无可避免地导致其他目的之牺牲的世界。对完美状态存在的假设将使得自由选择的重要性消失。这背后隐藏在专制者内心的深层信念就是：目的的正当可以证明手段的合理。（P217）一元论的预设将带给人类灾难，而人类的目标是多样、不可公度，并且往往永久处于敌对状态。这是更为人道的多元主义所承认的基本事实。