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《毛纲源考研数学辅导系列·考研数学（1）：常考题型解题方法技巧归纳（第2版）》在教育部制定的考研数学一“考试大纲”的指导下，经过多年的教学实践，由第一版修改而成。全书共分为三篇：第一篇为高等数学，第二篇为线性代数，第三篇为概率论与数理统计。

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第1篇 高等数学

1.1 函数、极限、连续

1.1.1 求几类与复合函数有关的函数表示式

题型1.1.1.1 已知f（x）和φ（x），求f［φ（x）］或φ［f（x）］

题型1.1.1.2 求分段点相同的两分段函数的复合函数

题型1.1.1.3 已知f（x），f［φ（x）］，求φ（x）

题型1.1.1.4 已知φ（x）和f［φ（x）］，求f（x）

1.1.2 函数的奇偶性

题型1.1.2.1 判别（证明）函数的奇偶性

题型1.1.2.2 奇、偶函数性质的应用

1.1.3 讨论函数的有界性和周期性

题型1.1.3.1 判定有限开区间内连续函数的有界性

题型1.1.3.2 判定无穷区间内连续函数的有界性

题型1.1.3.3 讨论函数的周期性

1.1.4 理解极限概念

题型1.1.4.1 正确理解极限定义中的“ε、N”，“ε、δ”，“ε、X”语言的含义

题型1.1.4.2 正确区别无穷大量与无界变量

1.1.5 求未定式极限

题型1.1.5.1 求0/0型或∞/∞型极限

题型1.1.5.2 求0·∞型极限

题型1.1.5.3 求∞——∞型极限

题型1.1.5.4 求幂指函数（00型，∞0型，1∞型）极限

1.1.6 求数列极限

题型1.1.6.1 求数列通项为n项和的极限

题型1.1.6.2 求由递推关系式给出的数列极限

1.1.7 求几类特殊子函数形式的函数极限

题型1.1.7.1 求须先考察左、右极限的函数极限

题型1.1.7.2 含根式差的函数极限

题型1.1.7.3 求含或可化为含指数函数差的函数极限

题型1.1.7.4 求含lnf（x）的函数极限，其中limx→□f（x）=1

题型1.1.7.5 求含有界变量因子的函数极限

1.1.8 求含参变量的函数极限limn→∞φ（n，x

题型1.1.8.1 求limn→∞φ（n，x），其中φ（n，x）为或可化为F（x）g（n）指数函数型

题型1.1.8.2 求limn→∞φ（n，x），其中φ（n，x）为或可化为g（n）F（x）幂函数型

题型1.1.8.3 求limt→t0φ（t，x），其中φ（t，x）可化为g（n）F（x）型或F（x）g（t）型

题型1.1.8.求limn→∞φ（n，x）或limt→t0φ（t，x），其中φ（n，x）=F（n，x）g（x，n）或φ（t，x）=F（t，x）g（t，x）

1.1.9 已知一极限求其待定常数或含未知函数的另一极限

题型1.1.9.1 由含未知函数的一（些）极限，求含该函数的另一极限

题型1.1.9.2 已知极限式的极限，求其待定常数

1.1.1 0比较和确定无穷小量的阶

题型1.1.1 0.1 比较无穷小量的阶

题型1.1.1 0.2 确定无穷小量为几阶无穷小量

1.1.1 1讨论函数的连续性及间断点的类型

题型1.1.1 1.1 判别函数的连续性

题型1.1.1 1.2 讨论分段函数的连续性

题型1.1.1 1.3 判别函数间断点的类型

1.1.1 2连续函数性质的两点应用

题型1.1.1 2.1 证明存在ξ∈［a，b］，使含ξ的等式成立

题型1.1.1 2.2 证明方程实根的存在性

习题1.

1.2 一元函数微分学

1.2.1 导数定义的三点应用

题型1.2.1.1 判断函数在某点的可导性

题型1.2.1.2 利用导数定义求某些函数的极限

题型1.2.1.3 利用导数定义讨论函数性质

1.2.2 讨论分段函数的可导性及其导函数的连续性

题型1.2.2.1 讨论分段函数的可导性

题型1.2.2.2 讨论分段函数的导函数的连续性

题型1.2.2.3 讨论一类特殊分段函数在其分段点的连续性、可导性及其导函数的连续性

1.2.3 讨论含绝对值函数的可导性

题型1.2.3.1 讨论绝对值函数|f（x）|的可导性

题型1.2.3.2 讨论函数f（x）=|φ（x）|g（x）的可导性

1.2.4 求一元函数的导数和微分

题型1.2.4.1 求复合函数的导数

题型1.2.4.2 求反函数的导数

题型1.2.4.3 求隐函数的导数

题型1.2.4.4 求分段函数的一阶、二阶导数

题型1.2.4.5 求幂指函数及含多个因子连乘积的函数的导数

题型1.2.4.6 求由参数方程所确定的函数的导数

题型1.2.4.7 求某些简单函数的高阶导数

题型1.2.4.8 求一元函数的微分

1.2.5 利用函数的连续性、可导性确定其待定常数

题型1.2.5.1 利用函数的连续性确定其待定常数

题型1.2.5.2 根据函数的可导性确定其待定常数

1.2.6 利用微分中值定理的条件及其结论解题

1.2.7 利用罗尔定理证明中值等式

题型1.2.7.1 证明中值等式f′（ξ）=0或f″（ξ）=

题型1.2.7.2 证明存在ξ∈（a，b），使cf′（ξ）=bg′（ξ），其中c，b为常数

题型1.2.7.3 证明存在ξ∈（a，b），使

题型1.2.7.4 证明存在ξ∈（a，b），使f（ξ）g′（ξ）+f′（ξ）g（ξ）=0

题型1.2.7.5 证明存在ξ∈（a，b），使f′（ξ）g（ξ）-f（ξ）g′（ξ）=0（g（ξ）≠0）

题型1.2.7.6 证明存在ξ∈（a，b），使f′（ξ）+g′（ξ）f（ξ）=0

题型1.2.7.7 证明存在ξ∈（a，b），使nf（ξ）+ξf′（ξ）=0（n为正整数

题型1.2.7.8 证明存在ξ∈（a，b），使f（ξ）/g（ξ）=f″（ξ）/g″（ξ），即f（ξ）g″（ξ）-f″（ξ）g（ξ）=0

题型1.2.7.9 证明存在ξ∈（a，b），使f′（ξ）+g′（ξ）［f（ξ）-bξ］=b

题型1.2.7.1 0证明与定积分有关的中值等式

1.2.8 拉格朗日中值定理的应用

题型1.2.8.1 证明与函数改变量（增量）有关的中值（不）等式

题型1.2.8.2 证明函数与其导数的关系

题型1.2.8.3 求解与函数差值有关的问题

题型1.2.8.4 证明多个中值所满足的中值等式

题型1.2.8.5 求中值的极限位置

1.2.9 利用柯西中值定理证明中值等式

题型1.2.9.1 证明两函数差值（增量）比的中值等式

题型1.2.9.2 证明两函数导数比的中值等式

1.2.1 0泰勒定理的两点应用

题型1.2.1 0.1 证明与高阶导数有关的中值（不）等式

题型1.2.1 0.2 计算按常规方法不好求的未定式极限

1.2.1 1利用导数证明不等式

题型1.2.1 1.1 证明函数不等式

题型1.2.1 1.2 证明数值不等式

1.2.1 2讨论函数的性态

题型1.2.1 2.1 证明函数在区间I上是一个常数

题型1.2.1 2.2 证明（判别）函数的单调性

题型1.2.1 2.3 讨论函数是否取得极值

题型1.2.1 2.4 利用二阶微分方程讨论函数是否取极值，其曲线是否有拐点

题型1.2.1 2.5 求曲线凹凸区间与拐点

题型1.2.1 2.6 求函数的单调区间、极值、最值

题型1.2.1 2.7 求曲线的渐近线

1.2.1 3利用函数性态讨论方程的根

题型1.2.1 3.1 讨论不含参数的方程实根的存在性及其个数

题型1.2.1 3.2 讨论含参数的方程实根的存在性及其个数

1.2.1 4函数性态与函数图形

题型1.2.1 4.1 利用函数性态作函数图形

题型1.2.1 4.2 利用函数的图形，确定其导函数的图形

题型1.2.1 4.3 利用导函数的图形，确定原来函数的性态

1.2.1 5一元函数微分学的应用

题型1.2.1 5.1 求平面曲线的切线方程和法线方程

题型1.2.1 5.2 求解与切线在坐标轴上的截距有关的问题

题型1.2.1 5.3 求解与两曲线相切的有关问题

题型1.2.1 5.4 求解与平面曲线的曲率有关的问题

习题1.

1.3 一元函数积分学

1.3.1 原函数与不定积分的关系

题型1.3.1.1 原函数的概念及其判定

题型1.3.1.2 求分段函数的原函数或不定积分

题型1.3.1.3 利用积分运算与微分运算的互逆关系求解与原函数有关的问题

1.3.2 各类被积函数不定积分的算法

题型1.3.2.1 求被积函数为f（x）/g（x）的不定积分，其中f（x）=g′（x）或f′（x）=1/g（x）

题型1.3.2.2 计算被积表达式中出现或可化为f（φ（x））和φ′（x）dx乘积的不定积分

题型1.3.2.3 计算被积函数仅为一类函数或为两类不同函数乘积的不定积分

题型1.3.2.4 计算简单无理函数的不定积分

题型1.3.2.5 求∫1（ax+b）kf1（ax+b）k-1dx，其中k≠1为正实数

题型1.3.2.6 求被积函数的分母为或可化为相差常数的两函数乘积的积分

题型1.3.2.7 求三角函数的不定积分

题型1.3.2.8 求被积函数含复合对数函数或复合反三角函数为因子函数的积分

题型1.3.2.9 有理分式函数∫P（x）Q（x）dx（其中P（x），Q（x）为多项式）的积分算法

1.3.3 利用定积分性质计算定积分

题型1.3.3.1 利用其几何意义计算定积分

题型1.3.3.2 计算对称区间上的定积分

题型1.3.3.3 计算周期函数的定积分

题型1.3.3.4 利用定积分的常用计算公式计算定积分

题型1.3.3.5 计算被积函数含函数导数的积分

题型1.3.3.6 比较和估计定积分的大小

题型1.3.3.7 求解含积分值为常数的函数方程

题型1.3.3.8 计算几类须分子区间积分的定积分

题型1.3.3.9 计算含参数的定积分

题型1.3.3.1 0计算需换元计算的定积分

题型1.3.3.1 1求由定积分表示的变量极限

1.3.4 求解与变限积分有关的问题

题型1.3.4.1 计算含变限积分的极限

题型1.3.4.2 求变限积分的导数

题型1.3.4.3 求变限积分的定积分

题型1.3.4.4 讨论变限积分函数的性态

1.3.5 证明定积分等式

题型1.3.5.1 证明定积分的变换公式

题型1.3.5.2 证明含定积分的中值等式

1.3.6 证明定积分不等式

题型1.3.6.1 证明积分限相等时不等式两端成为零的积分不等式

题型1.3.6.2 证明∫baf（x）dx或∫baf（x）dx≤k（或≥k），k为常数

题型1.3.6.3 证明题设中有二阶导数大（或小）于等于零的定积分不等式

1.3.7 计算反常积分

题型1.3.7.1 计算无穷区间上的反常积分

题型1.3.7.2 判别无界函数的反常积分的敛散性，如收敛计算其值

题型1.3.7.3 判别混合型反常积分的敛散性，如收敛计算其值

1.3.8 定积分的应用

题型1.3.8.1 已知曲线方程，求其所围平面图形的面积

题型1.3.8.2 已知曲线所围平面图形的面积（或其旋转体体积）反求该曲线

题型1.3.8.3 计算平面曲线的弧长

题型1.3.8.4 计算平行截面面积已知的立体体积

题型1.3.8.5 求旋转体体积

题型1.3.8.6 求旋转体的侧（表）面积

题型1.3.8.7 求解几何应用与最值问题相结合的应用题

题型1.3.8.8 计算变力所做的功

题型1.3.8.9 计算液体的侧压力

题型1.3.8.1 0计算细杆对质点的引力

题型1.3.8.1 1计算函数在区间上的平均值

习题1.

1.4 向量代数和空间解析几何

1.4.1 向量代数及其简单应用

题型1.4.1.1 用坐标表达式进行向量运算

题型1.4.1.2 计算向量的数量积、向量积、混合积

题型1.4.1.3 利用向量运算证明（确定）向量关系

1.4.2 求平面方程

题型1.4.2.1 求过已知点的平面方程

题型1.4.2.2 求过已知直线的平面方程

题型1.4.2.3 根据平面在坐标轴上的相对位置求其方程

题型1.4.2.4 求过两平面交线的平面方程

1.4.3 求直线方程

题型1.4.3.1 求过已知点的直线方程

题型1.4.3.2 求过已知点且与已知直线相交的直线方程

题型1.4.3.3 求与两直线相交的直线方程

题型1.4.3.4 求直线在平面上的投影直线方程

1.4.4 讨论直线与平面的位置关系

题型1.4.4.1 讨论平面间的位置关系

题型1.4.4.2 讨论直线与直线的位置关系

题型1.4.4.3 讨论直线与平面的位置关系

1.4.5 求点到平面或到直线的距离

题型1.4.5.1 求点到平面的距离

题型1.4.5.2 求点到直线的距离

1.4.6 求二次曲面方程和空间曲线在坐标面上的投影方程

题型1.4.6.1 求坐标面上曲线绕坐标轴旋转所得的旋转曲面方程

题型1.4.6.2 求空间曲线绕坐标轴旋转所得的曲面方程

题型1.4.6.3 求母线平行于坐标轴的柱面方程

题型1.4.6.4 求空间曲线在坐标面上的投影方程

1.4.7 求解空间解析几何与线性代数、微积分相结合的综合题

习题1

1.5 多元函数微分法及其应用

1.5.1 正确理解二元函数连续、可偏导及可微之间的关系

题型1.5.1.1 依定义判别二元函数在某点是否连续、可偏导及可微

题型1.5.1.2 判别二元函数连续、可偏导、可微之间的关系

1.5.2 计算多元函数的偏导数和全微分

题型1.5.2.1 利用隐函数存在定理确定隐函数

题型1.5.2.2 求抽象复合函数的偏导数

题型1.5.2.3 计算隐函数的导数

题型1.5.2.4 作变量代换将偏导数满足的方程变形

题型1.5.2.5 求方向导数和梯度

题型1.5.2.6 求二元函数的全微分

1.5.3 多元函数微分学的应用

题型1.5.3.1 已知空间曲线的参数方程，求其切线或法平面方程

题型1.5.3.2 已知空间曲线为两曲面的交线，求其切线或法平面方程

题型1.5.3.3 已知空间曲面方程，求其切平面或法线方程

题型1.5.3.4 求二元函数的极值和最值

题型1.5.3.5 求二（多）元函数的条件极值

习题1.5

1.6 多元函数积分学

1.6.1 利用区域的对称性化简多元函数的积分

题型1.6.1.1 计算积分区域具有对称性，被积函数具有奇偶性的重积分

题型1.6.1.2 计算积分区域关于直线y=x对称的二重积分

题型1.6.1.3 计算积分区域具有轮换对称性的三重积分

题型1.6.1.4 计算积分曲线（面）具有对称性的第一类曲线（面）积分

题型1.6.1.5 计算平面积分曲线关于y=x对称的第一类曲线积分

题型1.6.1.6 计算空间积分曲线（曲面）具有轮换对称性的第一类曲线（曲面）积分

题型1.6.1.7 计算积分曲线具有对称性的第二类曲线积分

题型1.6.1.8 计算积分曲面具有对称性的第二类曲面积分

1.6.2 交换积分次序及转换二次积分

题型1.6.2.1 交换二次积分的积分次序

题型1.6.2.2 转换二次积分

1.6.3 计算二重积分

题型1.6.3.1 计算被积函数分区域给出的二重积分

题型1.6.3.2 计算圆域或部分圆域上的二重积分

1.6.4 计算三重积分

题型1.6.4.1 计算积分区域的边界方程均为一次的三重积分

题型1.6.4.2 计算积分区域为旋转体的三重积分

题型1.6.4.3 计算积分区域由球面或球面与锥面所围成的三重积分

题型1.6.4.4 计算被积函数至少缺两个变量的三重积分

题型1.6.4.5 计算易求出其截面区域上的二重积分的三重积分

1.6.5 计算曲线积分

题型1.6.5.1 计算第一类平面曲线积分

题型1.6.5.2 求解平面上与路径无关的第二类曲线积分有关问题

题型1.6.5.3 计算平面上与路径有关的第二类曲线积分

题型1.6.5.4 计算空间第二类曲线积分

1.6.6 计算曲面积分

题型1.6.6.1 计算第一类曲面积分

题型1.6.6.2 计算第二类曲面积分

题型1.6.6.3 已知第二类曲面积分的值，求被积式中的未知函数

1.6.7 多元函数积分学的应用

题型1.6.7.1 计算空间曲线的弧长

题型1.6.7.2 求曲面面积

题型1.6.7.3 计算立体体积

题型1.6.7.4 求质量、重心及转动惯量

题型1.6.7.5 计算变力沿曲线所做的功

题型1.6.7.6 计算物体对质点的引力

题型1.6.7.7 计算向量场的散度与流量（通量）

题型1.6.7.8 计算向量场的旋度与环流量

习题1.6

1.7 级数

1.7.1 判别三类常数项级数的敛散性

题型1.7.1.1 判别正项级数的敛散性

题型1.7.1.2 判别交错级数的敛散性

题型1.7.1.3 判别任意项级数的敛散性

1.7.2 证明常数项级数的敛散性

题型1.7.2.1 证明一般项为或可化为相邻两项代数和的级数的敛散性

题型1.7.2.2 已知一级数收敛，证明相关级数收敛

题型1.7.2.3 已知一般项有极限，证明该级数的敛散性

题型1.7.2.4 证明（判别）一般项为（含）定积分的级数的敛散性

题型1.7.2.5 证明一般项用递推关系式给出的级数的敛散性

题型1.7.2.6 已知函数高阶可导，证明由该函数值组成的级数的敛散性

1.7.3 幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法

1.7.4 求幂级数与数项级数的和

题型1.7.4.1 求∑∞n=1P（n）xn的和函数，P（n）为n的多项式

题型1.7.4.2 求∑∞n=01Q（n）xn的和函数，Q（n）n的多项式

题型1.7.4.3 求含阶乘因子的幂级数的和函数

题型1.7.4.4 求数项级数的和

1.7.5 将简单函数间接展开成幂级数

题型1.7.5.1 求反三角函数的幂级数展开式

题型1.7.5.2 将对数函数展成幂级数

题型1.7.5.3 将有理分式函数展成幂级数

题型1.7.5.4 将三角函数展成幂级数

题型1.7.5.5 利用幂级数展开式求函数的高阶导数

1.7.6 傅里叶级数

题型1.7.6.1 将周期函数展为傅里叶级数

题型1.7.6.2 求傅里叶系数

题型1.7.6.3 求傅里叶级数的和函数在某点的值

习题1.7

1.8 常微分方程

1.8.1 求解一阶线性微分方程

题型1.8.1.1 求解可分离变量的微分方程

题型1.8.1.2 求解齐次方程

题型1.8.1.3 求解一阶线性方程

题型1.8.1.4 求解几类可化为一阶线性方程的方程

题型1.8.1.5 求解方程P（x，y）dx+Q（x，y）dy=0

题型1.8.1.6 求解由变量的增量关系给出的一阶方程

题型1.8.1.7 求满足某种性质的一阶微分方程的特解

1.8.2 求解线性微分方程

题型1.8.2.1 利用线性微分方程解的结构和性质求解有关问题

题型1.8.2.2 求解可降阶的二阶微分方程

题型1.8.2.3 求解高阶常系数齐次线性方程

题型1.8.2.4 求解二阶常系数非齐次线性方程

题型1.8.2.5 求解欧拉方程

题型1.8.2.6 求解含变限积分的方程

题型1.8.2.7 求解可化为一阶线性微分的函数方程

1.8.3 已知特解反求其常系数线性方程

题型1.8.3.1 已知特解反求其齐次方程

题型1.8.3.2 已知特解反求其非齐次方程

1.8.4 用微分方程求解几何和物理中的简单应用题

习题1.8

第2篇 线性代数

2.1 计算行列式

2.1.1 计算数字型行列式

题型2.1.1.1 计算非零元素主要在一条或两条对角线上的行列式

题型2.1.1.2 计算非零元素在三条线上的行列式

题型2.1.1.3 计算行（列）和相等的行列式

题型2.1.1.4 计算范德蒙行列式

题型2.1.1.5 求代数余子式线性组合的值

题型2.1.1.6 计算n阶可逆矩阵的所有代数余子式的和

2.1.2 计算抽象矩阵的行列式

题型2.1.2.1 求由行（列）向量表示的矩阵的行列式的值

题型2.1.2.2 计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式

题型2.1.2.3 计算含零子块的四分块矩阵的行列式

题型2.1.2.4 证明方阵的行列式等于零，或不等于零

2.1.3 克莱姆法则的应用

习题2.1

2.2 矩阵

2.2.1 证明矩阵的可逆性

题型2.2.1.1 已知一矩阵等式证明有关矩阵可逆，并求其逆矩阵

题型2.2.1.2 证明矩阵A可逆，且A-1=B

题型2.2.1.3 证明和（差）矩阵可逆

题型2.2.1.4 求矩阵的逆矩阵，该矩阵含一（些）矩阵的逆矩阵

题型2.2.1.5 证明方阵为不可逆矩阵

2.2.2 矩阵元素给定，求其逆矩阵的方法

2.2.3 求解与伴随矩阵有关的问题

题型2.2.3.1 计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式

题型2.2.3.2 求与伴随矩阵有关的矩阵的逆矩阵

题型2.2.3.3 求与伴随矩阵有关的矩阵的秩

题型2.2.3.4 求伴随矩阵

2.2.4 计算n阶矩阵的高次幂

题型2.2.4.1 计算能分解为一列向量与一行向量相乘的矩阵的高次幂

题型2.2.4.2 计算能相似对角化的矩阵的高次幂

题型2.2.4.3 计算能分解为两可交换矩阵之和的矩阵的高次幂

题型2.2.4.4 计算其平方等于原矩阵或单位矩阵倍数的矩阵高次幂

2.2.5 求矩阵的秩

题型2.2.5.1 求元素具体给定的矩阵的秩

题型2.2.5.2 求含抽象矩阵或含待定常数的矩阵的秩

题型2.2.5.3 已知矩阵的秩，求其待定常数

2.2.6 分块矩阵乘法运算的应用举例

2.2.7 求解矩阵方程

题型2.2.7.1 求解含单位矩阵加项的矩阵方程

题型2.2.7.2 求解只含一个未知矩阵的矩阵方程

题型2.2.7.3 求解含多个未知矩阵的矩阵方程

题型2.2.7.4 求与已知矩阵可交换的所有矩阵

题型2.2.7.5 已知一矩阵方程，求方程中某矩阵的行列式

2.2.8 初等变换与初等矩阵的关系的应用

题型2.2.8.1 用初等矩阵表示相应的初等变换

题型2.2.8.2 利用初等矩阵的逆矩阵的性质计算矩阵

习题2.2

2.3 向量

2.3.1 判别向量组线性相关与线性无关

题型2.3.1.1 用线性相关性定义做选择题、填空题

题型2.3.1.2 判别分量已知的向量组的线性相关性

题型2.3.1.3 证明几类向量组的线性相关性

题型2.3.1.4 已知向量组的线性相关性，求其待定常数

2.3.2 判定向量能否由向量组线性表示

题型2.3.2.1 判定分量已知的向量能否由向量组线性表示

题型2.3.2.2 判断一抽象向量能否由向量组线性表示

题型2.3.2.3 判别一向量组能否由另一向量组线性表示

2.3.3 两向量组等价的判别方法及常用证法

2.3.4 向量组的秩与极大线性无关组

题型2.3.4.1 求分量给出的向量组的秩及其极大线性无关组

题型2.3.4.2 将向量用极大线性无关组线性表示

题型2.3.4.3 证明抽象向量组的秩有关问题

题型2.3.4.4 证某向量组为一极大无关组

2.3.5 向量空间

题型2.3.5.1 求解空间的基、标准正交基（规范正交基）

题型2.3.5.2 求过渡矩阵

题型2.3.5.3 求向量在某组基下的坐标

习题2.3

2.4 线性方程组

2.4.1 判定线性方程组解的情况

题型2.4.1.1 判定齐次线性方程组解的情况

题型2.4.1.2 判定非齐次线性方程组解的情况

2.4.2 由其解反求方程组或其参数

题型2.4.2.1 已知AX=0的解的情况，反求A中参数

题型2.4.2.2 已知AX=b的解的情况，反求方程组中参数

题型2.4.2.3 已知其基础解系，求该方程组的系数矩阵

2.4.3 证明一组向量为基础解系

2.4.4 基础解系和特解的简便求法

2.4.5 求解含参数的线性方程组

题型2.4.5.1 求解方程个数与未知数个数相等的含参数的线性方程组

题型2.4.5.2 求解方程个数与未知数个数不等的含参数的线性方程组

题型2.4.5.3 求解参数仅出现在常数项的线性方程组

题型2.4.5.4 求含参数的方程组满足一定条件的通解

2.4.6 求抽象线性方程组的通解

题型2.4.6.1 A没有具体给出，求AX=0的通解

题型2.4.6.2 已知AX=b的特解，求其通解

题型2.4.6.3 利用线性方程组的向量形式求（证明）其解

2.4.7 求两线性方程组的非零公共解

题型2.4.7.1 求两齐次线性方程组的非零公共解

题型2.4.7.2 证明两齐次线性方程组有非零公共解

题型2.4.7.3 讨论两方程组同解的有关问题

习题2.4

2.5 矩阵的特征值、特征向量

2.5.1 求矩阵的特征值、特征向量

题型2.5.1.1 求元素给出的矩阵的特征值、特征向量

题型2.5.1.2 证明（判别）抽象矩阵的特征值、特征向量

2.5.2 由特征值和（或）特征向量反求其矩阵

题型2.5.2.1 由特征值和（或）特征向量反求矩阵的待定常数

题型2.5.2.2 已知特征值、特征向量，反求其矩阵

题型2.5.2.3 计算Anβ，其中β为列向量，A为方阵

2.5.3 求相关联矩阵的特征值、特征向量

2.5.4 判别同阶方阵是否相似

题型2.5.4.1 判别或证明方阵是否可对角化

题型2.5.4.2 判别两同阶方阵是否相似

2.5.5 相似矩阵性质的简单应用

2.5.6 与两矩阵相似有关的计算

题型2.5.6.1 矩阵A可相似对角化，求A中待定常数及可逆矩阵P，使P-1AP=diag（λ1，λ2，…，λn），其中λ1，λ2，…，λn为A的特征值

题型2.5.6.2 A为实对称矩阵，求A中待定常数及正交矩阵Q，使Q-1AQ=QTAQ=diag（λ1，λ2，…，λn），其中λ1，λ2，…，λn为A的特征值

题型2.5.6.3 A为实对称矩阵，求与其相似的对角矩阵Λ

题型2.5.6.4 已知矩阵A和可逆矩阵P满足一等式，求矩阵B，使P-1AP=B

习题2.5

2.6 二次型

2.6.1 化二次型为标准形

题型2.6.1.1 化二次型为标准形

题型2.6.1.2 已知二次型的标准形，确定该二次型

2.6.2 判别或证明实二次型（实对称矩阵）的正定性

题型2.6.2.1 判别或证明具体二次型（或实对称矩阵）的正定性

题型2.6.2.2 判别或证明抽象的二次型（或实对称矩阵）的正定性

题型2.6.2.3 确定参数的取值范围使二次型或其矩阵正定

题型2.6.2.4 证明与正定矩阵相关联的矩阵的正定性

2.6.3 合同矩阵

题型2.6.3.1 判别两实对称矩阵合同

题型2.6.3.2 讨论矩阵等价、相似及合同的关系

习题2.6

第3篇 概率论与数理统计

3.1 随机事件和概率

3.1.1 随机事件间的关系及运算

题型3.1.1.1 描绘随机试验的样本空间

题型3.1.1.2 用式子表示事件关系及其运算

题型3.1.1.3 利用事件运算的性质或图示法简化事件算式

题型3.1.1.4 求满足一定条件的事件关系

3.1.2 直接计算随机事件的概率

题型3.1.2.1 计算古典型概率

题型3.1.2.2 计算几何型概率

题型3.1.2.3 计算伯努利概型中事件的概率

3.1.3 间接计算随机事件的概率

题型3.1.3.1 计算和、差、积事件的概率

题型3.1.3.2 求与包含关系有关的事件的概率

题型3.1.3.3 计算与互斥事件有关的事件的概率

题型3.1.3.4 求与条件概率有关的事件的概率

题型3.1.3.5 求与他事件有关的单个事件的概率

题型3.1.3.6 判别或证明事件概率不等式

3.1.4 几个计算概率公式的实际应用

题型3.1.4.1 用加法公式求解实际应用题

题型3.1.4.2 用条件概率与概率的乘法公式求解实际应用题

题型3.1.4.3 用全概公式和逆概（贝叶斯）公式求解实际应用题

题型3.1.4.4 利用抽签原理计算事件概率

3.1.5 判别事件的独立性

题型3.1.5.1 判别（证明）两事件相互独立

题型3.1.5.2 判别（证明）n（n>2）个事件相互独立

习题3.1

3.2 一维随机变量及其分布

3.2.1 分布列、概率密度及分布函数性质的应用

题型3.2.1.1 判别分布列、概率密度及分布函数

题型3.2.1.2 证明某实函数为某随机变量的分布函数

题型3.2.1.3 利用分布的性质，确定待定常数或所满足的条件

题型3.2.1.4 求随机变量落在某点或某区间上的概率

3.2.2 求分布列（概率分布）、概率密度及分布函数

题型3.2.2.1 求概率分布（分布律）及其分布函数

题型3.2.2.2 求连续型随机变量的分布函数或其取值

题型3.2.2.3 求概率密度

3.2.3 利用常见分布计算有关事件的概率

题型3.2.3.1 利用二项分布计算伯努利概型中事件的概率

题型3.2.3.2 利用超几何分布计算事件的概率

题型3.2.3.3 利用几何分布计算事件的概率

题型3.2.3.4 利用泊松分布计算事件的概率

题型3.2.3.5 利用均匀分布计算事件的概率

题型3.2.3.6 利用指数分布计算事件的概率

题型3.2.3.7 利用正态分布计算事件的概率

题型3.2.3.8 利用相关分布与二项分布相结合计算事件的概率

3.2.4 随机变量函数的分布

题型3.2.4.1 已知一离散型随机变量的分布，求其函数（另一离散型随机变量）的分布

题型3.2.4.2 已知一连续型随机变量的分布，求其函数（另一连续型随机变量）的分布

题型3.2.4.3 已知一连续型随机变量的分布，求其函数（离散型随机变量）的分布

题型3.2.4.4 讨论随机变量函数分布的性质

习题3.2

3.3 二维随机变量的联合概率分布

3.3.1 求二维随机变量的分布

题型3.3.1.1 求二维离散型随机变量的联合分布律

题型3.3.1.2 求二维随机变量的边缘分布

题型3.3.1.3 由联合分布、边缘分布求条件分布

题型3.3.1.4 由条件分布反求联合分布、边缘分布

题型3.3.1.5 已知分区域定义的联合密度，求其分布函数

3.3.2 随机变量的独立性

题型3.3.2.1 判别两随机变量的独立性

题型3.3.2.2 利用独立性确定联合分布中的待定常数

3.3.3 计算二维随机变量取值的概率

题型3.3.3.1 计算两离散型随机变量运算后取值的概率

题型3.3.3.2 求二维连续型随机变量落入平面区域内的概率

题型3.3.3.3 求与max（X，Y）或（和）min（X，Y）有关的概率

题型3.3.3.4 求系数为随机变量的二次方程有根、无根的概率

3.3.4 求二维随机变量函数的分布

题型3.3.4.1 已知（X，Y）的联合分布律，求Z=g（X，Y）的分布律

题型3.3.4.2 求两随机变量之和的分布

题型3.3.4.3 已知X，Y的分布，求max（X，Y）或（和）min（X，Y）的分布

习题3.3

3.4 随机变量的数字特征

3.4.1 求一维随机变量的数字特征

题型3.4.1.1 求随机变量的数学期望与方差

题型3.4.1.2 求随机变量函数的数学期望与方差

题型3.4.1.3 计算随机变量的矩

3.4.2 求二维随机变量的数字特征

题型3.4.2.1 求（X，Y）的函数g（X，Y）的数学期望和方差

题型3.4.2.2 计算协方差和相关系数

3.4.3 计算两类分布的数字特征

题型3.4.3.1 计算正态分布的数字特征

题型3.4.3.2 计算Z=max（X，Y）或（和）W=min（X，Y）的数字特征

3.4.4 讨论随机变量相关性与独立性的关系

题型3.4.4.1 确定两随机变量相关与不相关

题型3.4.4.2 讨论相关性与独立性的关系

3.4.5 已知数字特征，求分布中的待定常数

3.4.6 求解两类综合应用题

题型3.4.6.1 求解与数字特征有关的实际应用题

题型3.4.6.2 求解概率论与其他数学分支的综合应用题

习题3.4

3.5 大数定律和中心极限定理

3.5.1 用切比雪夫不等式估计事件的概率

3.5.2 大数定律成立的条件和结论

题型3.5.2.1 利用三个大数定律成立的条件解题

题型3.5.2.2 求随机变量序列依概率的收敛值

3.5.3 两个中心极限定理的简单应用

题型3.5.3.1 利用棣莫弗拉普拉斯定理近似计算事件概率

题型3.5.3.2 已知随机变量取值的概率，估计取值范围

题型3.5.3.3 应用列维林德伯格中心极限定理的条件、结论解题

题型3.5.3.4 近似计算n个随机变量之和取值的概率

题型3.5.3.5 已知n个随机变量之和取值的概率，求个数n

习题3.5

3.6 数理统计初步

3.6.1 求解与统计量分布有关的问题

题型3.6.1.1 求解与统计量分布有关的基本概念问题

题型3.6.1.2 求统计量的分布及其分布参数

题型3.6.1.3 求统计量取值的概率

题型3.6.1.4 求统计量的数字特征

题型3.6.1.5 求经验分布函数

3.6.2 参数估计

题型3.6.2.1 求总体分布中未知参数的矩估计量（值）

题型3.6.2.2 求未知参数的极（最）大似然估计量（值

题型3.6.2.3 判别估计量的无偏性、有效性和一致性（相合性

题型3.6.2.4 求正态总体参数的置信区间及其有关参数

3.6.3 假设检验

题型3.6.3.1 计算简单情形下的两类错误概率

题型3.6.3.2 对单个正态总体参数进行假设检验

题型3.6.3.3 对两个正态总体参数进行假设检验

题型3.6.3.4 用检验方法及其结论做填空题与选择题

习题3.6

习题答案与提示

毛纲源，教授，毕业于武汉大学，留校任教，后调入武汉理工大学担任数学物理系系主任，在高校从事数学教学与科研工作40余年，发表多篇关于考研数学的论文。主讲微积分、线性代数、概率论与数理统计课程。理论功底深厚，教学经验丰富，思维独特。现受聘于北京师范大学珠海分校教授，担任数学的双语教学工作。曾多次受邀在山东、广东、湖北等地主讲考研数学，并得到学员的广泛认可和一致好评：“知识渊博，讲解深入浅出，易于接受”，“解题方法灵活，技巧独特，辅导针对性极强”，“对考研数学的出题形式、考试重难点了如指掌，上他的辅导班受益匪浅”……同样，毛老师的辅导书也受到读者的欢与好评，有兴趣的读者可以上网查询有关对他编写的图书的评价。

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书籍介绍

《毛纲源考研数学辅导系列·考研数学（1）：常考题型解题方法技巧归纳（第2版）》在教育部制定的考研数学一“考试大纲”的指导下，经过多年的教学实践，由第一版修改而成。全书共分为三篇：第一篇为高等数学，第二篇为线性代数，第三篇为概率论与数理统计。

《毛纲源考研数学辅导系列·考研数学（1）：常考题型解题方法技巧归纳（第2版）》重点讲述考纲中与基本概念、基本理论、基本方法有关的经典试题，内容丰富，题型广泛、全面，任何一年的真题均可在本书中找到对应的题型。

《毛纲源考研数学辅导系列·考研数学（1）：常考题型解题方法技巧归纳（第2版）》对各类重点常考题型的解题思路、方法和技巧进行归纳总结，对容易出错的地方以“注意”的形式作了详尽的注解加以强调。各类题型的解法除给出一般的套路外还给出简便的解法，能激发读者阅读此书的兴趣。讲解各类题型的解法时，尽量做到通俗易懂、由浅入深、富于启发，便于自学。因而《毛纲源考研数学辅导系列·考研数学（1）：常考题型解题方法技巧归纳（第2版）》是一本广度、深度及难度均适合广大考生使用的辅导书，如能认真学习阅读此书，考研数学高分不是梦。

• 作者：Bubble 发布时间：2022-06-23 13:14:37

  作为一本孩子的作文书，还是不错的，有可参考学习借鉴之处。

• 作者：一一姑娘 发布时间：2015-04-15 11:13:26

  做完鸟。

• 作者：少 少易 发布时间：2011-10-15 16:46:38

  我真将想做付诸于实践了。

• 作者：盛开了 发布时间：2023-05-29 23:32:39

  沙盘游戏必读，早读早受益

• 作者：YApiu 发布时间：2021-10-30 08:13:57

  2016版

• 作者：Beta 发布时间：2019-08-05 23:26:43

  看了短评，发现水军好多。这年头，商业书籍的水分太多了：标题党、大V互吹、自我包装……防不胜防，损失几十块钱事小，一本书动辄耗费一周时间事大。所以，看之前哪怕花一个小时看豆瓣评论去去芜存菁都是值得的！！！

• 无出其右的财务启蒙书（附本书大纲及精华）

  作者：豆总Jessica 发布时间：2011-06-11 19:41:30

  10岁时第一次看此书。记得当时给我的洗脑如同脑中刮起了飓风，哗啦啦吹倒一片。

  那时爸妈也是如书中父母般整天教育：考好成绩，读好学校。

  而这本书却告诉你，这些都是浮云！如果想实现财务自由，而不是靠工作养活你，那些都是毫无意义的！

  多大的震撼，几乎是价值观的推到重塑。。那时偶在股市上的投资已经小有斩获，正想着下一步怎么做，看完这本书后真是大喜过望。颇有一种找到了指路灯的感觉。后来自学企业管理，选修会计、财务等，或多或少都受到了此书的影响。

  记得当时分享很多书中的观念给我父母，他们无一例外都觉的有一定的道理，但已深陷体制内无法改变了; 或是思维固化而不愿改变了。

  时隔11年后再看此书却再也找不回当年的震撼。事实上，现在已经很少有书能如这本书当时那般打动我了。可不可以认为自己的思维已经开始有固化的苗头呢？

  这其实是大人们的悲哀。。

  得出的结论是看此书要趁早，晚了基本没啥用。

  本书文字浅显易懂，看这书名就让人不住怀疑其实就是给孩子看的吧。作为还没有财商观念娃的启蒙书，可能没有比此书更适合的了。

  blog地址：

  http://blog.sina.com.cn/tsinglight

  微博：

  http://weibo.com/tsinglight

  附上本书大纲和重点，基本囊括了本书精华：

  第一课：富人不为钱工作

  穷人和中产阶级被钱所支配，被欲望，贪婪和恐惧所控制。被恐惧情感所蒙蔽，没有真正的思考什么是自己的理想。

  恐惧把你推出门外，欲望又开始召唤你，让你去触礁。

  没办法解决，就只有多赚钱。认为钱能带来安全感，工作只是对这些问题的一个暂时的解决方法。

  事实上，钱本质只是一张纸而已，胡萝卜的价值都比这个大得多。而平凡人相信钱是真正的财富，相信他们所效力的公司或者政府能保障他们的生活。

  为什么老板能要价这么低？因为把自己卖不出去的恐惧一直环绕着你，折磨你

  第二课：为什么要教授财务知识

  会计是世界上最乏味的学科了。但是你想一直富有下去，它又可能是最重要的学科。

  如果你想发财，就要学习财务知识。财务知识就像地基，有了地基的基础，才能建高楼大厦。

  如果你想富有，就必须读懂并理解这些会计上的数字所要告诉你的东西是什么。包括对文字的理解。

  1.资产和负债

  资产是把钱放进你口袋的东西。

  负债是把钱从你口袋里取走的东西。

  这其中非常重要的就是你的消费方式:如果你的模式是把收入都花掉，你在增加收入的时候也在增加支出。再次强调，你要相信自己内在的力量，不要随波逐流。害怕在公众面前说话是害怕被嘲笑，害怕被排斥。都是一种恐惧。

  聪明人总是雇佣比他更聪明的人。

  房子是最大的负债──致富机会的丧失。

  富人：增加收入，减少支出和负债，增加资产。

  穷人：增加收入，增加支出和负债。

  财富：就是支撑一个人不工作而生活多少时间的能力。即衡量钱能赚多少钱，以及我的财务生存能力。

  第三课：关注自己的事业

  职业不等于事业。事业的重心是资产项，而不是你的收入项。当我说关注于你的事业时候，我的意思是建立自己牢固的资产。

  真正的资产可以分为以下几类：

  1.不需要我到场就可以正常运转的业务。我拥有他们，但是由别人经营和管理。

  2.股票

  3.债券

  4.共同基金

  5.能够产生收入的房地产

  6.票据（借据）

  7.版税，如音乐、手稿、专利。

  8.其他任何有价值、可以产生收入或有增值潜力并且有很好销路的东西。

  罗伯特清漆本人： 房地产，小公司股票持有一年，自己创造小公司股票捣鼓上市。

  如果你喜爱你所投资的对象，了解它并懂得游戏的规则，风险就会降低。

  穷人和富人一个重要区别是：富人最后才买奢侈品，而穷人和中产阶级会先买下诸如大房子、珠宝、皮衣、钻石等。真正的奢侈品是对投资和积累真正资产的奖励。

  第四课：税收的历史和公司的力量

  公司的避税优势：

  1.公司的某些收入可以用于税前收入支出

  2.企业所得税率低于个人所得税率

  每当人们想惩罚富人时，富人不会坐以待毙。而是进行反击。他们有钱、有能力、有决心去改变处境。他们雇佣聪明的律师和会计师，说服政客们改变法律，钻法律的漏洞。

  他总在提醒我知识就是力量，而且钱越多，就越要知识管理它，使它继续增加。

  财商的组成：

  1.会计，财务知识，财务报表等

  2.投资策略和方案，即以钱生钱的科学

  3.了解市场，了解基本面，了解供给与需求

  4.法律。要熟悉有关会计、公司方面的法律以及各州和国家的法律。

  5.如何寻找他人都忽视的机会

  6.如何增加资金

  7.怎样把精明的人组织起来。

  8.对你个人、时间以及家庭的管理

  9.最重要的专门技能是销售和对市场营销的理解。

  第五课：富人的投资

  我们都拥有巨大的潜能，然而，我们都拥有或多或少的自我怀疑的心理。过分的害怕和自我怀疑是毁掉我们才能的最大因素。成为财务上的天才既需要专业知识，又需要足够的勇气。

  在现实生活中，人们往往是靠勇气而不是靠智慧去取得领先的位置的。

  “现在你可以做什么？你可以采取多少种不同的理财选择？”。有些人坐等好机会的到来，有些人在机会到来时候苦于没有钱，而有些人有钱有机会时却忙让不知所措。。。这些都是因为缺乏理财能力。 拥有理财能力就意味着有更多的选择机会，而限制自己的选择机会等同于固守陈旧的观念。

  我们唯一的，也是最重要的资产就是我们的头脑。如果收到良好的教育，他转瞬间就可以创造大量的财富。

  所以，为何不耐心的提高你的财商呢？

  提高财商的另一个方面，就是让自己拥有更多的机会。你的财商越高，你就越能分辨一项交易是好还是坏。依靠你的智慧，你可以认出不利的交易，或者将一项不利的交易变成有利的交易。我学得越多，挣的钱也就越多。

  我全部的投资哲学就是把种子播在我的资产项下

  胜利者不害怕失败，但失败者害怕。失败是成功过程中的一个组成部分，如果避开失败，也就不会成功。

  第六课：学会不为钱工作

  大部分人需要学习和掌握不止一项技能，只有这样他们的收入才能获得显著增长。

  如果我是她，我一定会去学习一些有关广告文案和销售方面的课程。然后，我会去一家广告公司找一份工作。即使这样做会使得收入减少，但我能学到在成功的广告中运用的“用几秒钟交流”的技巧。我还会花时间去学习公共关系这一个重要的技能。

  “对许多知识你只需要知道一点就够了”这些年来我曾在他的公司的不同部门工作过。有一段时间我在他的会计部门工作。我也曾做过公共餐厅服务员、建筑工人、推销员、仓库保管员和市场营销人员。

  对于受过良好教育的爸爸来说，工作的稳定是一切;而对于富爸爸来说，不断学习才是一切。

  我去学校是为了学习国际贸易，因此，在我做学生时就跑过货运。当我的大多数同学在搞联谊的时候，我却在日本、泰国、新加坡、越南、韩国、菲律宾以及中国台湾和中国香港等地学习贸易、人际关系、商业类型和当地文化。我也参加晚会，但不去任何大学的联谊会，我迅速的成长起来了。我参加海军陆战队是为了学会指挥军队，经营一家公司最困难的就是对人员进行管理。“领导才能是你下一步迫切需要学习的”“如果你不是一个好的领导者，你就会被背后的冷箭射中，就像他们在商业活动中做的一样。”从越南回国后我离开了军队，在施乐公司找了一份工作。我是一个腼腆的人，对我而言销售是世界上最可怕的课程，而施乐公司的营销培训项目是美国最好的之一。

  直到今天，我仍然在做国际贸易，我一直在寻找新兴国家的商机。现在我的投资公司在南美、亚洲、挪威和俄罗斯等地都有投资项目。

  1969 美国商船学院毕业

  1969 标准石油公司 6个月 加入 海军陆战队学飞行

  1973 施乐公司推销员

  1977 创建了自己的第一家公司

  像富人能得到更好的教育一样，富人也能使自己活的更长，而穷人只会死得更早一些。我承认为了金钱和生活安稳而工作是很重要，但我仍主张要再找一份工作，以便从中学到另一种技能。我常常提议，如果想学习销售技能，最好进一家网络营销公司，也被称作为多级营销公司。这类公司打多能提供良好的培训项目，帮助人们客服因失败造成的沮丧和恐惧心理，这种心理往往是导致人们不成功的主要原因。“你无法教老狗学会新把戏”，除非一个人习惯于变化，否则改变对他来说是十分困难的。

  “工作是为了学习新东西”，尽管从短期来看，你的薪水可能会减少，但从长远来看，你将从中获得巨大的收益。生活就像去健身房，最痛苦的事情是作出健身的决定。一旦你过了这一关，一切都好办了。很多次我害怕去健身房，但是只要我去了并开始运动，就会感到心情愉快。健身之后我总是很高兴，因为我说服自己坚持了下来。

  富爸爸建议我去“培养”自己，很多公司也是这么做的。他们挑选聪明的年轻人，让他们从一个部门跳到另一个部门，从而学到整个企业个个系统的知识，通过这种方法，孩子们能够对如何经营一家企业有一个整体的认识，并可以了解不同部门的相互关系。

  注意，金钱是“给予然后获得”

  第八章 克服困难

  失败原因：

  1.对可能亏钱的恐惧心理：

  请活的大气！

  对于胜利者，失败会激励他们，打失一个球或输掉一场比赛只会激励他们做得更好，练得更努力，学更多的东西，是失败使得他们更优秀; 对于失败者，失败则会击垮他们。

  大部分人只是为了避免损失而理财。如果你的资金很少而你又想致富，你必须首先集中一点，而不是分散风险。用资产进行投资是一种高智商的游戏，需要胆量、耐心和对待失败的良好态度。

  2.随大流，疑虑重重，不能反众道而行

  愤世者抱怨现实，而成功者分析现实。有些人宁可让疑虑和恐惧蒙蔽自己的双眼，也不愿意去睁开眼睛分析现实。

  3.懒惰

  我经常遇到那些过分忙于工作而不关心自己财富的人。总之，他们内心很清除自己是在逃避一些很重要的事情。这是懒惰最普遍的表现形式，一种通过忙碌掩饰下的懒惰。

  请贪婪点：没有一点“贪婪”，没有想拥有更好的东西的渴望，就不会前进。

  每当你发现自己在逃避你内心清除应该去做的事情时，就应该问问自己：“我还能得到什么？”“我可付不起”给人以绝望，而“如何才能负的起”则给人开启了无限的可能。

  4.习惯

  请先支付给自己。压力迫使我努力工作，迫使我去思考，最重要的是迫使我在金钱的问题上更精明，更积极主动。如果我没感到任何压力，那我一定会因此而破产

  5.傲慢无知

  我知道的东西给我带来金钱，而我不知道的东西使得我损失金钱。

• 这是孤独冻结的宿命，也是最好的结局

  作者：芙裳 发布时间：2021-06-07 18:03:01

  几乎每个艺术家天生都有一种任性而邪恶的倾向，那就是承认‘美’所引起的非正义性，并对这种贵族式的偏袒心理加以同情和崇拜。”

  ——托马斯·曼（1875.6.6—1955.8.12）

  有闻北杜夫是德彪西的狂热爱好者，我点开了一张德彪西的歌单，静悄悄翻开了这本书。首页是一首作者父亲

  斋藤茂吉的短歌

  ，“木精”这个书名出自于此处。听说北杜夫是受到父亲书写的短歌的影响，才表现出对文学的热爱，在自己作品里引用父亲的诗句，显得格外有爱。传说人们向森林呼喊时产生的回声，是木精在同人们嬉戏。斋藤茂吉在德国游历期间，听到异国森林中回应他的木精的呼喊时，产生了

  浓浓的思乡之情

  ，便有感而发，写下了卷首引用的这首短歌。

  

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  作者讲述了小达在德国留学期间住的房子和生活习惯。

  所谓的治学，其实是和一个女人彻底分手。

  “都说留学生至少会抑郁上一回”、“心里空落落的，这种失落感常在夜晚造访我”可以说把留学生的孤独感描写得很真实了。北杜夫是吃可爱多长大的吧，他实在是太可爱了，救命。小达嗔怪德国人顽固，怀疑自己在蹲大狱，德国人不能在家中发出声响，深夜如厕也不冲水，都展现了他的幽默与可爱。文中的“我”感动于校园女神像上的铭文

  “学问上的停滞，也可以认为是人生的停滞”

  。他从小是一个孤儿，性格有些孤僻，讲述着一个人的旅行。作者认为：

  “只有孤独的旅行，才能让某些东西在灵魂中发酵。”

  北欧人享受阳光，悠闲自在，毫不在意时间流逝，而“我”却有一种局促感，惶惶不安。

  他在

  留学时候的每日生活点滴与细节和对伦子的回忆两条线相互交织

  ，款款而行。小达和伦子邂逅于一次寻麻疹的出诊，伦子是小达堂姐的学妹，小达对伦子一见倾心，完全是因为伦子像小达日记本里珍藏着的从歌剧杂志剪下来的少女头像剪影，和小达心中的理想形象完全吻合。可伦子是一个年纪比达夫小的有夫之妇。在此之前，出于对性的好奇，小达在大学时代有过两段关系。一个是原来的邻居，后来成了酒吧陪酒女，因为这个女人被包养了，小达和她断了联系。他内心向往纯洁，却因为没有尝过女人的滋味而自卑，直到他被放了鸽子，撞到这个女人和其他男人纵情于声色犬马，他才意识到这是一种龌龊的勾当。之后，小达成了一个傍大款的小白脸，同样是和一个年纪大的有夫之妇，但是之后渐渐淡出彼此生活。所以，他对比自己年纪小的伦子觉得格外的有新鲜感。

  

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  在学术上，小达听到了

  克雷奇默教授

  的课，这个教授经常来小达的研究室，有一位日本教授在小达的简历上添上了博士。冬季，

  研究所老职员赫姆

  还带着小达去郊外看森林。他想起夏天跟随父亲脚步去

  小城多瑙艾辛根

  的经历。他后来还去了很多地方，小说中对各地景色和人文的描写也很出众。

  若非被爱情蒙蔽了双眼，想必我会把她当成智障的。然而此时此刻，我却觉得她是那么可爱。”

  达夫又一次见到了伦子，他们一起喝酒。

  小达已经彻底地、虔诚地、出自真心地接受了吕贝克作家描绘的不为健全世俗所容的畸零人的反讽。

  他们之间有了一些出格的行为，小伦一直在道歉，达夫一直在为小伦找理由。达夫从小伦的声音里听出了一种求神的欲望，就像溺水者见到救命稻草时那样，拼命挣扎。让我想到陈奕迅的歌曲《一丝不挂》中表达的爱人彼此爱得太沉迷，想尝试逃避或者离开，却陷入网罗不能自拔，不能割舍，又抑或不想割舍的情感。

  既然是俗人，谈一场短暂的不合时宜的恋爱，也无可厚非吧？

  达夫明白自己是在自说自话，种种念想仍旧是剪不断理还乱。

  “我的心情你可明白？”

  我明白伦子的心境，还有一点感同身受，一直都生活在绝望里，干脆就绝望一辈子了，我可黏人了，就是没有人可黏。人到底要有多大的运气才能碰到爱情呢？

  伦子是一个缺爱的人，她

  渴望纯真的感情

  。“我想被你包养。”“有人疼有人爱的，都是小三哦。”虽然理智告诉我伦子的这些话三观不正，但是我仔细一想，真的好有道理，救命。可见伦子的丈夫真正挂念的是包养的情人，对伦子可能就比较冷漠。“你果然不是好人。”“可别做坏事哟。”伦子还挺可爱的。他们像少男少女一样，连毛衣都没有脱，睡在了一张床上。以后不久的一天，小达在日记本上写下：“今晚，我和小伦做了夫妻。”

  

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  恋爱对于精神来说，无非是片刻小憩

  。虽然小达对爱情有一定的理解，但是他真正投入恋爱，他的理性早已被消磨干净了。都说爱是克制，而爱往往让人不能克制。我的天，伦子还有一个四岁的女儿，顿时觉得她不可爱了。这婚外恋，我还能说些什么呢？我应该从哪个角度去说呢？这......我总不能闭着眼睛说那是追求爱情吧，一开始就不应该结婚，可怜的小伦被包办婚姻。伦子想要抛弃孩子和小达结婚，未遂。我仿佛在看两个被情感操控理智的幼稚鬼谈恋爱。“孤零零的小伦写给孤零零的你。”他们依旧没有分开，感情变得深沉。因为知道伦子的丈夫爱着别的女人，所以小达还能为他们这段恋情找到借口，尽管还是有违道德人伦。

  困苦终有尽时，幸福亦无永久。

  小达三年德国留学让他认清这辈子要走的路，做下了不给伦子写信的决定。在回国之前，他还去北方旅行。路上让我印象深刻的观点很有趣，我也不明白

  为什么生活要作为精神和艺术的永久对立面

  ，我们追求着怪异和邪恶，却对天真、简单和生机勃勃的事物盖上章，那就是傻。

  

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  诗人里尔克在《安魂曲》中写道：

  “在生活与伟大作品之间，总存在某种古老的敌意。”

  整体读下来，作者的笔触十分天真，有点像我之前读过的《我是个年轻人，我心情不太好》，那里面的主人公拿着一本霍金的《时间简史》，而这本书中小达拿的是托马斯·曼的《托尼奥·科勒格尔》，他们都一样在

  寻找人生的意义

  。我很喜欢故事的结尾，达夫弃医从文，写下了

  处女作《幽灵》的开头：人为何讲述回忆？

  至于伦子，虽然达夫觉得未来似乎不大可能像爱小伦一样爱其他人了，但他依旧不得不

  结束这场不伦之恋

  。他会珍藏这段感情，不会忘记伦子，可他们再也不会见面，达夫会带着这份爱

  好好爱这个世界

  ，希望自己一生都有能力爱人们、爱人生。这是孤独冻结的宿命，也是最好的结局。