中公2019考研数学20年真题分类精讲数学一 下载 pdf 电子版 epub 免费 txt 2025

《中公版·2019考研数学：20年真题分类精讲（数学一）》包含高等数学、线性代数、概率论与数理统计三个科目：高等数学篇分为函数、极限与连续，一元函数微分学，一元函数积分学，中值定理，向量代数和空间解析几何，多元函数微分学，多元函数积分学，级数，常微分方程共九章；线性代数篇分为行列式，矩阵，向量，线性方程组，特征值和特征向量，二次型共六章；概率论与数理统计篇分为随机事件及其概率，随机变量及其分布，多维随机变量及其分布，随机变量的数字特征，数理统计与参数估计共五章。

每章开头都设有“本章考试要求”和“历年真题分布统计”，考生借此了解考试大纲对每章各个考点的基本要求，并了解历年真题对各章的考查重点。

此外，本书将20年真题按照不同的考点分类。

*，每个考点均配有“解题核心要点”，给出了与该考点有关的定理、公式、方法等，便于考生记忆。

第二，将真题按照考点分类，大部分真题的答案包括三部分：“思路分析”是对本题的主体思路和核心考点的概括；“解析”是本题的详细解题过程和步骤，部分题目一题多解；“评注”是对每种题型核心考点和解题方法的归纳。

第三，书中2003～2018年的真题均配有二维码，考生扫码即可观看对应题目的视频讲解。

篇高等数学

章函数、极限与连续

本章考试要求

历年真题分布统计

历年真题分类精讲

考点一极限的性质

考点二无穷小量的比较

考点三极限的计算

考点四连续与间断

第二章一元函数微分学

本章考试要求

历年真题分布统计

历年真题分类精讲

考点一导数与微分

考点二导数的计算

考点三切线与法线

考点四单调性与凹凸性

考点五极值与拐点

考点六渐近线

考点七原函数及导函数

第三章一元函数积分学

本章考试要求

历年真题分布统计

历年真题分类精讲

考点一不定积分的计算

考点二定积分的比较

考点三定积分的计算

考点四反常积分

考点五变上限积分

考点六定积分的应用

第四章中值定理

本章考试要求

历年真题分布统计

历年真题分类精讲

考点一罗尔定理

考点二拉格朗日中值定理

考点三泰勒中值定理

第五章向量代数和空间解析几何

本章考试要求

历年真题分布统计

历年真题分类精讲

考点一直线与平面

考点二空间距离

考点三简单的曲面

第六章多元函数微分学

本章考试要求

历年真题分布统计

历年真题分类精讲

考点一多元函数微分学的概念

考点二偏导数的计算

考点三方向导数与梯度

考点四极值

考点五多元函数微分学的几何应用

第七章多元函数积分学

本章考试要求

历年真题分布统计

历年真题分类精讲

考点一二重积分

考点二三重积分

考点三类曲线积分

考点四第二类曲线积分

考点五类曲面积分

考点六第二类曲面积分

考点七综合应用

第八章级数

本章考试要求

历年真题分布统计

历年真题分类精讲

考点一收敛性的判别

考点二幂级数的收敛域

考点三幂级数展开

考点四幂级数求和

考点五傅里叶级数

第九章常微分方程

本章考试要求

历年真题分布统计

历年真题分类精讲

考点一一阶微分方程

考点二高阶微分方程

考点三应用问题

第二篇线性代数

章行列式

本章考试要求

历年真题分布统计

历年真题分类精讲

考点一数值型行列式

考点二抽象型行列式

第二章矩阵

本章考试要求

历年真题分布统计

历年真题分类精讲

考点一矩阵的运算

考点二逆矩阵

考点三伴随矩阵

考点四矩阵方程

考点五初等矩阵

考点六矩阵的秩

第三章向量

本章考试要求

历年真题分布统计

历年真题分类精讲

考点一线性表出

考点二线性相关

考点三向量空间

第四章线性方程组

本章考试要求

历年真题分布统计

历年真题分类精讲

考点一解的判定

考点二解的结构

考点三含参数的线性方程组

考点四同解与公共解

考点五线性方程组的几何运用

第五章特征值和特征向量

本章考试要求

历年真题分布统计

历年真题分类精讲

考点一特征值与特征向量的计算

考点二矩阵的相似

考点三相似对角化

考点四实对称矩阵

考点五综合运用

第六章二次型

本章考试要求

历年真题分布统计

历年真题分类精讲

考点一二次型的合同标准形

考点二惯性指数与合同规范形

考点三正定二次型

第三篇概率论与数理统计

章随机事件及其概率

本章考试要求

历年真题分布统计

历年真题分类精讲

考点一简单概型

考点二条件概率与独立性

考点三概率的基本公式

第二章随机变量及其分布

本章考试要求

历年真题分布统计

历年真题分类精讲

考点一分布函数和概率密度

考点二常见分布

考点三随机变量函数的分布

第三章多维随机变量及其分布

本章考试要求

历年真题分布统计

历年真题分类精讲

考点一分布律和概率密度

考点二边缘分布与条件分布

考点三常见分布

考点四独立性

考点五随机变量函数的分布

第四章随机变量的数字特征

本章考试要求

历年真题分布统计

历年真题分类精讲

考点一基本定义

考点二常见分布的数字特征

考点三常用公式

考点四相关系数

考点五切比雪夫不等式

第五章数理统计与参数估计

本章考试要求

历年真题分布统计

历年真题分类精讲

考点一常见统计量

考点二统计分布

考点三参数估计

考点四区间估计

考点五假设检验

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　　篇高等数学

　　1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系。

　　2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

　　3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

　　4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。

　　5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系。

　　6.掌握极限的性质及四则运算法则。

　　7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

　　8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。

　　9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

　　10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、值和小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

　　1999～2018年本章真题分布统计

　　考点

　　年份

　　极限的性质

　　无穷小量的比较

　　极限的计算

　　连续与间断

　　总计

　　1999年

　　3分

　　3分

　　2000年

　　5分

　　5分

　　2001年

　　0分

　　2002年

　　6分

　　6分

　　2003年

　　4分

　　4分

　　8分

　　2004年

　　4分

　　4分

　　2005年

　　0分

　　2006年

　　4分+12分

　　16分

　　2007年

　　4分

　　4分

　　8分

　　2008年

　　4分

　　9分

　　13分

　　2009年

　　4分

　　4分

　　2010年

　　4分+4分

　　8分

　　2011年

　　10分+10分

　　20分

　　（续表）

　　考点

　　年份

　　极限的性质

　　无穷小量的比较

　　极限的计算

　　连续与间断

　　总计

　　2012年

　　0分

　　2013年

　　4分

　　4分

　　2014年

　　10分

　　10分

　　2015年

　　10分

　　4分

　　14分

　　2016年4分4+4分

　　12分

　　2017年10分4分

　　14分

　　2018年4分+10分

　　14分

　　总计

　　12分

　　32分

　　107分

　　12分

　　163分

　　概述：本章是高等数学的基础，几乎每年都会考查，且选择题、填空题和解答题均会涉及。本章的考题分布有两大特点：一是分布集中，大部分的题目考查的是极限的计算；二是联系紧密，无穷小量的比较、连续及间断等从本质上讲考查的就是极限的计算。所以，考生要重点掌握各类极限的计算方法。

　　考点一极限的性质

　　（一）解题核心要点

　　本题型主要考查极限收敛的条件及性质，常见的结论有：

　　极限的四则运算法则

　　收敛＋收敛＝收敛，收敛＋发散＝发散，发散＋发散＝？；

　　收敛×收敛＝收敛，收敛×发散=发散，收敛≠0，

　　？，收敛=0，发散×发散=？。

　　（上述结论中的问号表示结果不确定。）

　　夹逼定理

　　若存在自然数N，当n>N时，恒有yn≤xn≤zn，且有limn→∞yn=limn→∞zn=a，则有limn→∞xn=a。

　　单调收敛定理

　　单调递增有上界的数列必有极限，单调递减有下界的数列必有极限，单调无界的数列极限为+∞或-∞。

　　极限的保号性

　　有两个数列{xn}与{yn}：

　　若从某一项N开始，以后所有项都有xn≥yn，则limn→∞xn≥limn→∞yn；

　　若有limn→∞xn>limn→∞yn，则从某一项N开始，以后所有项都有xn>yn。

　　（二）历年真题精讲

　　视频讲解

　　1.（2003年，4分）设{an},{bn},{cn}均为非负数列，且limn→∞an=0,limn→∞bn=1,limn→∞cn=∞,则必有（）

　　（A）an

　　（C）极限limn→∞ancn不存在。（D）极限limn→∞bncn不存在。

　　【答案】D

　　【思路分析】选项A、B考查极限的保号性，与保号性的相关结论相对比，可举反例；选项C、D考查极限的收敛性，结合极限收敛性的相关结论进行判断。

　　【解析】由于limn→∞an

0，使得当n>N时，an

　　类似地，选项B也是错误的。例如bn=1,cn=n2，n=1,2时不满足bn

　　由于limn→∞an=0,limn→∞cn=∞，因此limn→∞ancn是0·∞型的未定式，有可能收敛也有可能发散，所以选项C是错误的。例如an=2n,cn=n2，极限limn→∞ancn=1。

　　证明limn→∞bncn发散，可采用反证法。假设limn→∞bncn是收敛的，由于limn→∞bn=1≠0，可知limn→∞cn=limn→∞bncnbn=limn→∞bncnlimn→∞bn也是收敛的，与已知条件矛盾，假设不成立，也即limn→∞bncn是发散的。由此正确的选项是D。

　　选项A、B容易和极限的保号性混淆：若limn→∞an

0，当n>N时，有an

N）才成立，无法保证对每一项都成立。

　　视频讲解

　　2.（2007年，4分）设函数f(x)在(0,+∞)上具有二阶导数,且f″(x)>0,令un=f(n)(n=1,2,…)，则下列结论正确的是()

　　(A)若u1>u2,则{un}必收敛。(B)若u1>u2,则{un}必发散。

　　(C)若u1

　　【答案】D

　　【思路分析】对于这种类型的题目，常用举反例法。

　　【解析】方法一：设f(x)=x2,则f(x)在(0,+∞)上具有二阶导数，且f″(x)>0,u1

　　设f(x)=1x,则f(x)在(0,+∞)上具有二阶导数，且f″(x)>0,u1>u2，但{un}={1n}收敛，排除B。

　　设f(x)=-lnx，则f(x)在(0,+∞)上具有二阶导数，且f″(x)>0,u1>u2，但{un}={-lnn}发散，排除A。故选D。

　　方法二：由拉格朗日中值定理，有

　　un+1-un=f(n+1)-f(n)=f′(ξn)(n+1-n)=f′(ξn),

　　其中n＜ξn＜n+1(n=1,2,…)。

　　由f″(x)>0知，f′(x)单调增加，故

　　f′(ξ1)

　　un+1=u1+∑nk=1(uk+1-uk)=u1+∑nk=1f′(ξk)>u1+nf′(ξ1)=u1+n(u2-u1),

　　于是当u2-u1>0时，有limn→∞un+1=+∞，故选D。

　　视频讲解

　　3.（2008年，4分）设函数f（x）在（-∞,+∞）内单调有界，xn为数列，下列命题正确的是（）

　　（A）若xn收敛，则f（xn）收敛。（B）若xn单调，则f（xn）收敛。

　　（C）若{f（xn）}收敛，则{xn}收敛。（D）若{f（xn）}单调，则{xn}收敛。

　　【答案】B

　　【思路分析】本题考查数列收敛问题。判断数列收敛主要用到单调有界定理。

　　【解析】由f(x)有界可得{f(xn)}也有界，由f(x)单调且{xn}也单调可得{f(xn)}单调，此时{f(xn)}单调有界，故选B。

　　实际上也可以举特例判断：

　　如果令xn=n，则{f(xn)}单调，由单调有界收敛定理可知，{f(xn)}是收敛的，但此时{xn}是发散的，排除C和D。

　　本题容易引起混淆的是选项A，{xn}收敛时，假设limn→∞xn=a，此时要得到limn→∞f(xn)也存在，必须有f(x)在x=a处连续的条件。但题目中的条件并不能保证f(x)在x=a处连续，所以A项不正确。例如：f(x)=arctanx－1,x≤0,

　　arctanx+1,x>0,xn=(－1)nn。

　　考点二无穷小量的比较

　　（一）解题核心要点

　　设在某极限过程x→□中，函数α（x）,β（x）都为无穷小量，并且都不为0。

　　如果limx→□α（x）β（x）=0，则称当x→□时，α（x）为β（x）的高阶无穷小量，或β（x）为α（x）的低阶无穷小量，记作α（x）=o［β（x）］。

　　如果limx→□α（x）β（x）=C≠0，则称当x→□时，α（x）与β（x）为同阶无穷小量。

　　在同阶无穷小中，如果limx→□α（x）β（x）=1，则称当x→□时，α（x）与β（x）为等价无穷小量，记作α（x）~β（x）。

　　按照上述定义，要比较两个无穷小量，直接相除取极限即可。

　　（二）历年真题精讲

　　1.（2002年，6分）设函数f（x）在x=0的某邻域内具有一阶连续导数，且f（0）≠0,f′（0）≠0,若af（h）+bf（2h）-f（0）在h→0时是比h高阶的无穷小，试确定a,b的值。

　　【思路分析】相当于已知limh→0af（h）+bf（2h）-f（0）h=0，可以先借助极限的形式得出分子趋近于0，再通过洛必达法则或是导数的定义求出极限；也可以直接写出f（h）和f（2h）的泰勒展开式。

　　【解析】方法一：由题设条件知

　　limh→0［af（h）+bf（2h）-f（0）］=（a+b-1）f（0）=0，

　　由于f（0）≠0，所以a+b-1=0。又由洛必达法则，

　　limh→0af（h）+bf（2h）-f（0）h

　　=limh→0afh-f0h+2bf2h-f02h+a+b-1f0h

　　=limh→0af′（h）+2bf′（2h）=（a+2b）f′（0）,

　　由于af（h）+bf（2h）-f（0）在h→0时是比h高阶的无穷小，由高阶无穷小的定义知上式等于0，又由f′（0）≠0,得a+2b=0。

　　解方程组a+b-1=0，

　　a+2b=0，得a=2,b=-1。

　　方法二：分别将f（h）,f（2h）按带佩亚诺余项的泰勒公式展开到o（h），有

　　f（h）=f（0）+f′（0）h+o（h），f（2h）=f（0）+2f′（0）h+o（h），

　　从而

　　af（h）+bf（2h）-f（0）=（a+b-1）f（0）+（a+2b）f′（0）h+o（h）。

　　由题设条件知，a+b-1=0,a+2b=0,所以a=2,b=-1。

　　方法三：由题设条件，有

　　limh→0［af（h）+bf（2h）-f（0）］=（a+b-1）f（0）=0。

　　由于f（0）≠0，所以a+b-1=0。再将a=1-b代入limh→01h［af（h）+bf（2h）-f（0）］，凑成导数定义形式，有

　　0=limh→0af（h）+bf（2h）-f（0）h=limh→0（1-b）f（h）+bf（2h）-f（0）h

　　=limh→0［f（h）-f（0）h-bf（h）-f（0）h+2bf（2h）-f（0）2h］

　　=f′（0）-bf′（0）+2bf′（0）=（1+b）f′（0）,

　　从而a=2,b=-1。

　　方法一中使用洛必达法则的合理性在于函数f（x）有连续的导数，因为此时有limh→0f′（h）=f′（0）。如果把条件减弱为f（x）可导就不能使用洛必达法则了，因为此时仅知道f′（h）是存在的，但极限limh→0f′（h）无法确定等于多少。

　　视频讲解

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  就是同义词，但是没有给辨析只有例句

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• 从女性角度看《月亮与六便士》

  作者：灰瞳 发布时间：2019-01-29 23:28:44

  从女性角度看《月亮与六便士》

  “满地都是六便士，他却抬头看见了月亮。”

  “却”字在这儿体现了整本书的价值观。我相信每个看过小说的人都会知道所谓“六便士”代表的是现实生活，而“月亮”这种远在天边的东西，我们称之为“理想”。我看了很多豆瓣的书评，所讲的大多是歌颂理想的力量，鼓励大家勇敢地去追求自己的梦想。确实，不可否认这本书把“理想”抬到了一个很高的位置，真的变成了头顶上的矿灯。尽管理想很伟大，但是我对这本书也不会有所喜爱，更不会想去翻第二次，并且下次如果有人在我的书架上拿起这本书的时候，我会告诉他“谨慎”，特别是女生。一如刘芸第一次看这本书后欲言又止的样子，我想我现在明白她大概想说些什么。

  既然是从女性角度看问题，那我们就从主人公查理斯.斯特里克兰与他人生中三个女人的故事开始讲吧。

  第一个故事：查理斯.斯特里克兰和斯特里克兰夫人

  我将这一故事定义为：不解。

  所谓“不解”是因为斯特勒克兰夫人在故事中是一个几近完美的女人，她善良、淳朴、待人真诚、热情好客、 富有同情心且善解人意。不同于同时代的其他女性，斯特勒克兰夫人爱她的丈夫，爱她的孩子，爱她的家庭，努力的让每一天都过得精致优雅，但她也绝不是家庭的奴隶，她也有自己的生活。文中有一段是这么写的“她打心眼里喜欢读书（这在他这类人中很少见。这类人大多对作家比对作家写的书、对画家比对画家画的画兴趣更大），她幻想出一个只属于自己的小世界，生活其中乐不思归，感到了现实生活中不能有的自由、快乐。”这种女人该是多么讨人喜欢，这样的女人不应该得到幸福完满的生活吗？可生活这种东西谁又说得清，就像善解人意的人容易被辜负，懂事的人也总是先被伤害，“讨人喜欢的女人总是嫁给蠢货”。因而她迎来的结局是丈夫为了追求自己的理想而抛妻弃子，这种在生活情理上的荒诞性往往让人难以接受却又不知所措，就像文中的“我”对斯特勒克兰夫人所说的“如果他为了一个女人离开你，你是可以宽恕的。如果他为了一个理想离开你，你就不能了，对不对？你认为你是前者的对手，可是同后者较量，你就无能为力了。”也正是这种无能为力可以使斯特勒克兰走得毫不犹豫且不带一丝的忏悔，甚至把一切当成理所当然。可为什么女人就一定要承担这样的后果，为什么要把一个人的善良放在脚底下践踏，让一个人变得卑微、恶毒、充满仇恨后还要道貌岸然地说一句“可惜女人都没脑子”？呵！理想，多么高贵！斯特勒克兰夫人的不幸并没有击垮她，有人说不幸可以使人性变得高贵，这句话并不总对；使人变得高尚的有时候反而是幸福，不幸在大多数情况下只会使人心胸狭窄，报复心强。尽管如此，她至少活得有自尊，因而斯特勒克兰夫人也是这三个女人中我最喜欢的。同样让人难以接受的是与“为什么讨人喜欢的女人总是嫁给蠢货”相对的“因为有脑子的男人是不会娶讨人喜欢的女人的。”的观点，这种搞笑的观念在我看来就跟现在所说的高学历的女孩子嫁不出去一样的扯淡。

  第二个故事：查理斯.斯特里克兰和布兰奇

  我将这一故事定义为：恶心

  这一个故事同样是一个善良的人活该受罪的故事。大概讲的就是善良的施特勒夫十分欣赏查尔斯的才华，并乞求妻子能够帮助落魄的查尔斯，让他在家里养病，没想到妻子布兰奇看上了查尔斯并决心跟查尔斯走，查尔斯也没有拒绝，然后施特勒夫就被绿了。可想而知查尔斯和布兰奇的结局必定是灾难性的，因为查尔斯是一个视理想为生命的人，感情这种东西并不是他理想世界里的唯一，甚至不应该存在，不然他也不会抛家弃子。感情只是他用来调节自己因追求理想而陷入迷茫时的兴奋剂，一旦他找到了自己想要的东西，感情就会成为一种累赘，所以女人再一次成为了理想的牺牲品。正如查尔斯自己所说“实际上爱情是生活中无足轻重的一部分。我只懂得情欲。这是正常的、健康的爱情是一种疾病。女人是我享乐的工具，我非常讨厌她们总是提出过多的要求。她们只会妨碍我。”他该庆幸自己活在一个妇女是奴隶，男人是奴隶主的时代，这种话如果放在今天讲可能就是要上微博热搜被人批斗的。不过与斯特勒克兰夫人不同，这是布兰奇自己的选择，这同样也是一种“月亮”与“六便士”的选择。她跟着施特勒夫可以享受到一地的六便士，可是她还是选择了“月亮”，选择了她所期盼的爱情。可是毕竟月亮是有圆有亏的，所以布兰奇发现查尔斯需要的并不是爱情而仅仅是情欲时，这一种再次被背叛的感觉让她不堪重负，服毒自杀是这个女人最后的归宿。奇怪的是布兰奇的死并没有引起我的同情，甚至让我觉得恶心和活该。难道布兰奇真的不知道会是这样的结局吗？我想她应该是知道的，在我看来这是她自己的选择，是她自己选择了牺牲，她需要为她的选择负责不是吗？斯特勒克兰夫人有自己的生活，有孩子要抚养，爱情之于她可能已经不那么重要，可是爱情却是布兰奇的全部，她为了追求爱情放弃了一切。文中有一段话对男女的爱情观的差异表现的过于真实，是这样的“尽管有少数男人把爱情当作头等大事，但这些人常常是一些毫无情趣的家伙；即便那些把爱情当成生活的女人，也不太看得起这类男人。女人会被这样的男人吸引，会被他们奉承得心花怒放，但心里却不会有安全感——这些人是种可怜的生物。男人们即使在恋爱的短暂期间，也不停地去干些别的事以分散精力：首先他们得赚钱；其次他们还会沉湎于体育等活动；最后还可能对艺术感兴趣。”多么真实，我多遗憾自己没能早看到这段文字，不然也不会吃那么多的亏。所以当一个女人视爱情为生活的全部时她就已经输了，就像布兰奇，终将可悲。

  第三个故事：查理斯.斯特里克兰和艾塔

  我将这一故事定义为：卑微

  无论是文中的“我”还是读者都没能想到查尔斯还能结婚。很讽刺的是他和艾塔结婚同样不是因为爱，只是合适罢了，只是想找一个能够照顾他生活起居的人罢了，只是为了更好地实现自己的理想罢了。又一次，女人，在文中又一次的成为了理想的牺牲品。艾塔正式成为一个被“妻子”的名分套牢的奴隶，可是她却觉得很满足，多么卑微。也许就是卑微才能在某些方面显得伟大，艾塔陪查尔斯走过了创作的辉煌时期直至查尔斯患上麻风病走向死亡，是艾塔一直在身边不离不弃，亲吻着查尔斯的脚感激他让自己能够留下来照顾他。如果要为杰出的画家查尔斯.斯特里克兰写一部传记，艾塔该是多么伟大的存在，没人会记得她的卑微，甚至认为那是一种贡献。而卑微地艾塔却得到了斯特里克兰夫人和布兰奇想要的生活，多么讽刺，多么搞笑，所以卑微的人见证了查尔斯理想的实现，赢得最后的胜利。

  整个故事讲到这儿就结束了，查尔斯实现了自己的理想，斯特里克兰夫人过着安逸的生活，她的一双儿女都各有成就，偶尔有记者采访有关查尔斯的生平事迹，她也总是虚伪的说着查尔斯生前对自己很好。布兰奇死了，艾塔永远留在了大溪地。

  读完书我们需要铭记的是：人性是复杂的，卑微与伟大、恶毒和善良、仇恨和热爱是可以相安无事并存在同一颗心里。如果可以，我们不一定要拥有月亮，我们可否只借着月光拥有一地的六便士。