2021全国硕士研究生招生考试临床医学综合能力（西医）“单科突破”系列—外科学及临床医学人文精神 下载 pdf 电子版 epub 免费 txt 2025

　　外科学及临床医学人文精神是临床医学专业研究生入学考试的必考科目。北医社出版的全国硕士研究生招生考试用书临床医学综合能力（西医）《真题解析》（黄皮书）、《应试指南》（蓝皮书）、《强化题集》（紫皮书）以其实用，成为考研学子中的品牌图书。北京大学医学部专家组编的《2021全国硕士研究生招生考试临床医学综合能力（西医）“单科突破”系列—外科学及临床医学人文精神》是将以上三本图书中的外科学及临床医学人文精神内容进行选编，重新编排，包含“真题解析”“应试指南（大纲精解）”“强化题集”三部分，以帮助考生更好地进行复习。

外科学

部分 真题解析（1992—2018）

章 外科总论（1～193题）

第二章 胸部外科疾病（194～213题）

第三章 普通外科（214～611题）

第四章 泌尿、男生殖系统外科疾病（612～631题）

第五章 骨科（632～848题）

试题解析

第二部分 应试指南（大纲精解）

章 外科总论

第二章 胸部外科疾病

第三章 普通外科

第四章 泌尿、男生殖系统外科疾病

第五章 骨科

第三部分 强化题集

章 外科总论

参考答案

第二章 胸部外科疾病

参考答案

第三章 普通外科

（一）颈部疾病

参考答案

（二）乳房疾病

参考答案

（三）腹外疝、腹部损伤、急性化脓性腹膜炎

参考答案

（四）胃肠疾病

参考答案

（五）肝、胆、胰、脾疾病

参考答案

（六）血管疾病

参考答案

第四章 泌尿、男生殖系统外科疾病

参考答案

第五章 骨科

参考答案

临床医学人文精神

部分 真题解析（2017、2018）（1～16题）

试题解析

第二部分 应试指南（大纲精解）

章 医学职业素养

第二章 医患关系

第三章 临床伦理

第四章 卫生法律法规

第三部分 强化题集

参考答案

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• 作者：DODO 发布时间：2012-10-09 15:32:48

  初步了解声学测量还是不错的一本书

• 作者：司马公常 发布时间：2024-04-30 21:42:24

  展颜一笑看小图，会心一笑妙又奇。

  不愧名家真手笔，春末览之自得喜。

  ——幽默画欣赏，匆匆一览，会心一笑耳！

  黄永玉画幽默图，赤子心证好玩奇。

  一览一笑光阴事，更得三五在此时。

  ——漂亮！非常美丽的幽默画卷，值得看！

• 作者：苏木 发布时间：2022-12-17 20:44:03

  继续看泷平二郎刻纸作品。“每一棵麦子都是云雀从天上射下来的箭”。较特出之处在描绘出了一个“历时”的过程，黑云逐渐衰老、太阳慢慢长大，唯云雀仍向黑云射箭不止。疑问：人名的翻译，…一郎次、二郎次，是日语习例？

• 作者：大椿树下的小象 发布时间：2012-05-20 17:57:22

  是两本哟，赫赫

• 作者：路桥川 发布时间：2022-12-18 16:49:22

  考证用书

• 作者：ayishdyj 发布时间：2020-01-28 09:52:12

  不喜欢这个故事

• 钱婉约整理：《钱穆致徐复观信札》读书笔记

  作者：诚明 发布时间：2021-08-26 19:29:26

  按：信札主要讨论《民主评论》维系、新亚创办及运转、治学与教学等问题，这里抄录其论学部分，主要牵涉为学门径、对时下学风的批评，以及对具体学术问题的看法，依时间或页码先后排列，而不依主题整理。

  一九五二年

  兄能埋头书册，盼能继续在学术上多有发表，政论文字究竟只顾当前，抑且易滋外面误会，不如专就纯学术性者多所努力，收效更宏也。【16】

  一九五三年

  弟今年与兄相处，才深感兄之可爱。据弟旁窥，兄心地似较去岁落实，一意闭户读书，自然言谈之间，精光日露，足证学问真贵从本原心地上用力，窃愿以此自勉，亦以此更勉兄之日进无疆。此事成败，亦不应太著急，自尽我心而止。此种态度，决非消极，欲求远到，实该从此等处自己用心。【21】

  “将来中国出路，必然要发扬旧根抵，再加西方化，此事断无可疑。”批评胡适治学，“一生不讲西方精微处，专意呵斥本国粗浅处”，并认为其将来盖棺定论“当远不如章太炎、梁任公”。批评胡适不懂禅宗，不能分辨宋明、先秦儒之异，【40】《国史大纲》论王安石、司马光新旧党争，亦从未有出主入奴、门户党伐之见，强调对学术异同平心而论，不该以偏锋肆其轻呵，并批评戴震。【41】“吾兄有意在中国文化上追求，此断然是时代需要，盼勿为一时风尚摇惑。惟四十以后人做学问方法应与四十以前人不同，因精力究不如四十以前，不得不看准路向，一意专精，切忌泛滥。弟意兄应善用所长，善尽所能，一面从日文进窥西方，一面在本国儒学中，只一意孔孟《易》《庸》、程朱陆王几个重要点钻研。以兄之锐入，不到五年，必可有一把柄在手，所争者在志趋正，立定后不摇惑，潜心赴之，他无奇巧也。”【41】

  与徐复观论张居正，“弟觉辨张江陵一文，头绪已太繁，不专指张江陵而已，牵涉到自秦以下整部宰相制度之实质。弟之答辨则只就张江陵一人悄悄说了几句话，其他略而不论了。若尊文再添入明史的问题，实与文章体裁不相合，似宜另一题为之。”【58】抄袭问题，钱穆指出古今人学养不同，郭象、王鸿绪、戴震等皆学者，彼之所剽窃亦自有分寸。最后就文中商榷徐文中“姨太太”数语。【58】

  一九五四年

  “弟《宋明理学概述》已完稿，惟此等著作最好能留手边一年，随时有所增删，庶不致有大谬误。弟自《国史大纲》以后，诸书皆随成随印，印出后极难再改，因心绪已不属也。世乱如此，欲求著述精密，追踪古人，良为不易。先布两篇，承友好推许，极自慙疚。著述当俟百年论定，朋友相识，不免宽假，随心指摘，亦多夹私见，皆不足凭。为著述事，非冥心独运，置一时毁誉于度外，不能有深味也。”【63】

  《宋明学概论》已脱稿，最近正在从头校读一遍，对朱子一节又增入数百字，较之《民评》刊出者，更有明白扼要之阐述。蓋自己校读自己文章，眼光思路亦可比撰写时较为客观，遇必须点明处而撰写时急于写下，而跳过未落笔处，可以随时加入，此实一极重要工作也。（弟自谓所补数百字有画龙点睛之妙，朱学条理经弟几篇文发挥，大致已得头脑，此实为近代学术史上一大贡献。以兄常过推许，故直率相告耳。）【64】

  “宋允君两文亦过目。……第二篇评胡先生论学关系实不小，态度亦无浮薄尖刻、俏皮刁酸种种之时代病。弟意提倡批评风气，此时甚不易，因大家都是讲空话，实际上则并无可批评。”又指出徐复观“兄于政论肆所欲言，而于学术讨论，似太持重。”信末提及《论语新解》【74】

  “评史与论时事不同，论时事可引史，论史可针且时事，然各有主脑，不宜相混。宋儒如苏东坡，论史往往影射时事，借题发挥，此乃一种策论体，在当时已不为上乘，乃史家所不取。司马温公、欧阳文忠公论时事皆极剴切详明，而论史则专在客观方面就史论史，不根据自身时代发议，故《新唐书》各志及《通鉴》皆为治史者重视。一是史学，一是政论，此两者绝不同。”又谈及《论语》的工作，以及曾欲编《古文辞類纂》作国文教材。【78】

  答复对《庄老通辨自序》的驳难，“考据之学一如义理，可以历久争论，并不是有了证据，即得成定论也。”【81】

  与徐复观讨论禅宗和中国近代史。表彰李定一的书，笔名武波虽为左派，“观点不足取，然亦佳著。”学术思想举自己的《近三百年学术史》，政治方面《国史大纲》“虽语焉不详，然纲宗已举。”经济方面未见佳作。“弟意教此课，最好能在晚清以来一辈士大夫观念上之逐步转变与对内对外一切改革之逐步推进，而终未有所成就，事态罗陈，内理亦显。”此曾从未有人注意用心过（皆未入细）【84】郭定一近代史仅广罗材料，终少一语破的之处，较之李君书实为逊色。民国以后认为李剑农《近三十年史》可看。钱先生指出，“教此课太求详密，须扼要陈述数大端，如洪杨，如雅片战争，如拳乱，如戊戌政变，如辛亥革命，如洪宪称帝，如五四运动，如北伐，如抗日，如赤化，只把握此诸要点透切发挥，政制、学术、思想、经济种种都因便论述，不宜各各分章，转嫌乏味。听者必易接受，其他暂可从略。大凡教一课，必须连教几年，始能逐一涉及。总之，能以读书方法教书，无不

  成

  ；因于要教书而读书，则无不

  败

  。”【85】

  《孔子与春秋》，“自问对古今文问题更有持平之见地，年事稍多，心气渐平实，所见更深入”，不过生活太忙，沉不下心，不能精心结撰。《论语要略》有胜于《论语新解》，用白话文不能出色，年轻时精神专注等。【86】

  病中作文驳胡适禅学，《政学私言》亦在病中作，并感到为新亚耗精太多，极欲摆脱。【92】关禅宗者能写一文更佳，“惟此等学术文字，最好不全从反面攻击人，下手须能自有创闢，在正面有发见为更妙。質之高见，定谓然也。”【95】

  《神会与坛经》一文，批评胡适以“自由捏造”定案，“真所谓既妄且愚，而居然为一时之钜子。若使归熙甫复生，恐当叹其妄庸更胜于彼前所叹也。并世无英雄，遂使竖子成名，此亦一时学术界之羞耻事矣。”【96】近思政治全属行动，决非空论所能成事。盼兄多移精学术论著，毋多浪费笔墨于政论，所系实大，非仅私所盼祷也。【97】

  “《学弊》一文，病中偶然构思，窃谓有大议理，俟病复再草出。然即今追溯，已非当时意境。有些文章，最好意到即书，稍纵便逝去矣。然积久出之，则义理深厚，少偏激放荡，而感人之力微弱。得失相乘，甚难判其孰佳孰恶也。论学论政，故可分途，然生心害政，其理仍一，此处不知尊意为何？”【98】

  《民评》百期特大号刚伯论西方政制，钱先生对其行文遣词有所批评，认为“未脱时下恶习。”在他看来，[“不学诗，无以言”，“温柔敦厚，诗教也”。将来反颓风，开正途，不仅当正学术，尤当端文风。] 又评济之文章，回忆吴其昌《金文历朔疏证》，“惟陈寅恪能见其弊，而陈君沉藏不肯轻道人短长，因此与董君同事如此之久，而终无一言相贵，则安贵有贤师友矣！所谓老马识途，贵在告人此路不通，则省却许多闲气力。胡氏之害在意见，傅氏之害则在途辙，别有一种假癡聋人，亦不得辞后世之咎耳。”【99】

  强调志愿在教育与学术。【102】“若举国不学，试问何术建国？故尤愿毕吾余年，专在学术上尽力。”劝徐复观一意此途，“吾辈既读几本中国书，更须在此几本中国书上努力，此乃天命所系，责无旁贷。”【103】

  检讨《王守仁》中讲南镇问答，“轻疑古人，妄发傲见。”幸而《宋明理学概述》和《中国思想史》未将此妄见写入。【104】

  “犹忆平日相聚谈及政治所由，与兄相左者不出两端：一则弟存心为旧历史辩护，二则弟常不以将来政治出路专以模仿西方现成格套为可能。”钱先生又谈及本文仍不脱为古人辩诬，谈及作文感受，“无论作文做事，均须心中一无所有，空荡荡地，乃能见精采。【108】

  “大抵今日欲转移人心，论政不如论学；如论政，则论人不如论事；若论人，则鼓舞悲悯，更胜于挖苦讥讽。因世风既薄，人心日污，非此终不足以转移，而途增乖戾反覆，危言行逊，不得不爾。弟前纸深赏兄平日文字之刻深锐厉，然尽言之难，自古为戒。快于读者，抑乃非言者之福；快于一时，亦非可期日久之效。”【109】

  “弟忧患余生，饱经苦痛，回忆全是苍凉一片。六十之年，惟是六十年苍凉而已。至于志业所就，亦仅仅写得几本书。而方今士不悦学，真能读者殊不多。若朋辈过为揄扬，窃恐专为不知者诟厲。故弟于今年六十，实一无好情怀，非过为矫情也。”又写道，“至于学术是非，本不可以笔舌争，只有淡然付之，数十年后，求来者徐定之。”【110】

  拟写《周公在中国文化史上之地位》，与《从中国社会看中国文化》相补足。强调《中国哲学中之鬼神观》，“此题极新颖，其实为治中国哲学者所必知。”又以《孔子与春秋》为最近称心之作，亦可与想作之《周公》相足。【124】

  冯友兰《新理学》初稿，指出应增“闢鬼神”一题，并认为书中关于程朱心性论太少发挥。冯后增入鬼神章，但心性方面见解不同。钱指出其论鬼神未触及问题真痛痒处，《灵魂与心》，以及在新亚讲中国思想史中之鬼神观。【125】

  1955年

  写作《史学研究法》的想法，认为“梁书太粗，不深入，实未能指示后学以途径也。”【128】

  教育精神本难与众共喻，同事问真志同道合者，实亦惟君毅一人而已。【133】

  就徐复观以“好恶”释“仁”撰文讨论，牵涉仍是“朱陆异同”，《心与性情与好恶》。【136】《中国思想史》《中国思想讲话》批驳柏拉图、黑格尔、马克思等，钱先生似乎颇重视。【137】对带动员的批驳。对宋儒“理”字有些认为不妥当。【137】徐复观《象山学述》，提示此等问题须湛心涵泳久而有见识与长进，最好能不写文字，存蓄渐久，再看有无新见。批评学风【138】

  学人生活，社会不注意，全要自己挣扎，而外面仍不相谅。在近代中国社会要潜心做学问，洵是一大难事。【139】

  再论《心与性情与好恶》，钱认为“好恶”字与“欲”字仍有不同。【141】对徐斥夫已氏为文化汉奸过分，徒伤感情，徒增意气。“学术思想只能从同气相求、同声相应中，求逐步充实而光辉。不同气、不同声，则道不同不相为谋。”【141】认为牟宗三在《人生》各期文好极，“甚喜读其如此文字，但亦恐了其深旨者不能多”【142】

  “弟意今日讲宋学，最好能避免‘教主气’，此意在《概述》315页述及。弟因不喜教主气，因此亦不喜‘门户传统’。”《阳明学概述》早申此旨。【144-5】民主问题，“弟自问弟之讲学，乃颇喜民主精神者，然弟终不敢正面提出此语。好像从前人不民主，到我们走进了新时代，总发挥此精神。弟深觉此刻学弊在此，弟深不愿再推波助澜。”提倡“博学好古”。【145】徐复观驳殷海光一事，“弟意最好省去此等闲争论，只求在自己一面更深入、更广大，别人的暂置不理，静待第三者来批判。我们必信‘社会自有公论’一真理，然后总能安身立命。若果信得此一真理，则真可百世以俟而不惑，又何必急待争辨乎？苟从反面说，则真有索解不得之苦。弟在此教书，亦深感其苦。学生笔记总怕看，看了便减少上堂兴趣，因所讲深处，学生总不领会，便上堂有索然扫兴之心情，只有少看学生笔记，反而觉得自己讲得有精采。同样道理，对别人意见与我相异，亦只有置之一旁，不问不闻。此非深闭固拒，能多看古今大著作，自能日有长进，何必理会薄俗妄论乎！”【145】针对徐认为牟宗三应多从西方文化之痛痒处逼出东方精神，此亦一要点。【145-6】钱对牟的不满在于觉得他总多少带有宋儒“教主气”，不喜十力先生亦在此，反对自己要当教主。【146】

  《鬼神观》一文将刊布。十年前曾想系统研究禅宗，但搁置。徐认为董仲舒“各种误解之关节”，钱认为须斟酌。“西汉经学确有毛病，但在当时亦有贡献，贵能如实分析论列，如专从后代人观点来强调前人误处，而遗忽了其在当时之正面意义，此亦不免为偏陷之见。再过数十年、一百年，即有人谓吾等有种种误解矣。以前拙著瞎比，虽微窥此意，而终是多轻忽疵病古人，实则未能摆脱时风。”【147】就《中庸》发挥“天人合一”【148】

  对“三不朽”的看法，自问才性，“勉有立言则庶可自励，立功非所敢望，而立功者之立德，实犹难于立言者。弟平素看清立功，今乃始知为社会支撑一事业甚不易，处乱世更急须有立功者，而亦更不易。弟极盼能得一贤者来主此事，弟能从旁赞助，只做弟自所能做者。”古人所说思贤若渴和求得天下英才而教育之。【154】

  “关于殷海光一函，已由《民评》金君送来，匆匆阅过。弟意此等文字，以不发刊为是，若为讨论学术，争辨是非，亦须选择对象。殷某殊不值往复，所论亦非学术大体。将来关于此等，鄙意只以不理为佳。拈大题目发大议论，久之自有大影响，只恐我们自己力量不够。外界是非，如殷某之辈，无世无之。想来一千人也等闲看过，不以形之口齿笔墨，故后世遂不知耳。…君子隐恶而扬善，青天白日之下，魑魅自尔匿迹。照妖镜不能比日月光晖，亦须照大妖。豺狼当道，安问狐狸。此非故作乡愿之意。以上驷竞下驷，亦非卫道良策也。”【155】最后希望徐把题目提高，理据加深，为《明夷待访录》之后继，非异人任耳。【156】

  与徐复观讨论汉制多用法家一节不同，“窃谓论制度当从大处着眼，《周礼》、《尚书大传》、两《戴礼》中有许多意见，此皆康有为所谓托古改制，其实非春秋战国史实，乃出儒者理想，而汉制多受其影响。董江都《天人三策》，确然儒家之言，其中羼入阴阳家说法较之法家意见更多。董以前贾长沙《治安策》，亦对汉制有甚大影响，其所陈述亦确然儒术，而汉人不谓之醇儒，则因开端对匈奴、对诸侯王皆羼有权术，非醇王之治也。”【158-9】

  中国传统人情习俗与西方民主方式却有许多扞格。新亚校务的经验，儒家与法家的纠缠。“儒家态度总嫌优柔，总主宽裕，处集团似不够，弟乃为此所苦。若政治事业脱离不了社会习俗、文化传统，则中共新政治之展望，其事甚多曲折也。”对营私结党问题的困扰。【160】德化须对青年在教育上用之，四十岁之人何从德化。政治上之德化必须凭高势，仍有赏罚做底。钱自我定位是“淡泊自守、纯洁未失的读书人”，认为办事时的磨练不得不在学问上放弃【161】决不是一办事人，希望摆脱。【162】

  回应徐对其《中庸》一文的看法，认为读之粗略。钱欲发挥《中庸》会通儒道之趣，则以《庄子》义说《中庸》，程朱“性即理”决不专属人而显包物理，大义《中国思想史》“中庸”节略举，澄清非一本自然主义而不承认道德，只认道德亦在此自然中。等等等等【164】

  就《中庸》讨论略述治学大体。“在义理方面，弟尊孟子与阳明；在学问方面，此学问指狭义言。弟甚喜章实斋，因其言治学途辙，与弟多不谋而合也。…‘实斋言‘为学不可无宗主，不能有门户’，此意弟甚赞成。弟宗主在孟子、阳明，然信阳明而知重朱子，尊孟子而又爱庄周。窃谓学问重在补偏救弊，此层实斋亦屡言之，而晦庵可以救王学之弊，庄子可以补孟子之偏。因此晚明王学流弊曝著，一辈学者即主由王返朱，而《中庸》《易传》即采用庄老来补孔孟之偏。”【167】钱以孔孟之偏即“偏在专注人文方面”，老庄跳出人文圈子专在自然界理论。荀子“戡天主义”之偏。【168】[《中庸》言德目，举出“诚”字。“诚者，天之道”，始于自然界，指出其内涵之道德意义，因此引出悠久、博大、高明、不贰、不息、不已诸端，皆属自然界而贯通到人文界，此即《中庸》与孔孟不尽相同处。]【168-9】以忠恕、孝弟为例。又言及儒家所说“天”，归于朱陆异同。“《中庸》有两端，一端由人达天，一端由天达人，似不可并归一路。弟虽尊阳明，亦谓朱子意见仍当斟取。”【169】钱以朱子从自然界中找到仁义礼智根据，误入战国阴阳家与汉儒歧途，但格物穷理之说不可破。[濂溪《通书》重“诚”字，朱子于二程外必尊濂溪，因朱子极想为“天”“人”两界打一通路，决不专在孟子尽心知性、尽性知天一路上下工夫。若太重于此，便成陆王了。]【169-170】《中庸》与《易传》比较，皆得天人分明，而又能汇通合一；但两书已非论孟老路，参进道家观点。【170】与美国人论中西文化，钱意见：① 科学可以全盘接受，② 政治社会人文界措施可以部分接受，③ 耶教恐最难接受。《中庸》《易传》接受老庄，钱希望再下此工夫，为科学与儒家汇通闢一路。提示主义袁弘接受老庄而重返儒学的进路。【170】

  又与徐复观论中庸，引《表记》“以先王成法擬度人，则难中矣，当以时人相比方耳。”钱认为，“不仅不当以天道责之人人，并不当以先王之道责之人人，只当以时人之道则之时人。此论意见，弟素深守。弟之喜《中庸》者在此等处。此因第宗主阳明而然，弟之不喜以教主态度临人者，亦因深喜此等理论故耳。”赞赏阳明“立诚”训中庸之“诚”【176】

  先秦家派，本不该严格划分，此乃刘歆《七略》本《六家要旨》如此云云耳。此后即不拟再照此分别。【177】论儒道关系。

  一九五六年

  与徐复观继续讨论《中庸新义》，钱对徐文辞有所建议，认为害事害学，检讨《近三百年学术史》以宋儒立场评清儒固无不可，但亦宋人笔法评覈汉学则终有憾。【184】最后赞徐学问长进，盼其沉潜反复，厚积薄发，再言学术与政论杂文不同。【187】

  尽心教课对学问大有进益。因有一客观程范，积久得益始深。如《先秦诸子系年》写出后在北大讲战国史，发悟苏张纵横之无据，最后添入《苏秦考》。又教三百年学术史，编讲义写至《古文尚书》，后开悟又《阎毛》一章。【200】

  “史学思想史与史学史乃属开山之业，教者既不易，学者亦恐难真有领会”，建议先教授《群书治要》（目录学），使学者于四部大著作粗有知识，教为易教易学。【204】

  弟每读古今人文字，有自道胸臆，绝不见纠缠葛藤者，斯为最上。如心中有对，则笔下有渣滓，气度风格转自卑近。自所抒写时不免于此病。【208】

  一九五七年

  《文心雕龙》《文史通义》和《古文辞类纂》合讲的建议（兼讲史、汉），唐代古文运动与儒学复兴问题上有发悟。“欲讲中国文化与思想，即就唐代论，经学即远不如文学之重要。故就群经大义来看，各时代思想其间仍隔一膜，终不免为一种门面语。在学问思想上确有成就者，决然能时时推陈出新。若讲唐代思想，诗文集之重要，即远胜于经学注疏也。”【237】言及宣言，“私意此事似无甚意义。学术研究贵在沉潜缜密，又贵相互间各有专精，数十年来学风颓败已极，今日极而思反，正贵主持风气者导一正路，此决不在文字口说上向一般群众从可视听而与波澜，又恐更引起门户壁垒耳。”【238】

  读李白、柳宗元等更多了解，心平了，能就李看李，就柳看柳，始觉其各有千秋。近人所谓客观实须心德修养，自然科学方面较易，人文科学则难。【242-3】“政治理论只求平实，自由主义之所以胜于马列，即在其卑无甚高论处。”【243】

• 黎曼猜想到底是什么意思？

  作者：马同学 发布时间：2019-04-12 16:35:02

  哎，豆瓣不支持数学符号，也不支持动图，需要更好的阅读体验可以到马同学的网站上观看：

  黎曼猜想到底是什么意思？

  2018年，89岁高龄的菲尔兹奖得主，迈克尔·阿蒂亚爵士举行了他最后一次公开的数学报告：

  

  这个报告是关于“黎曼猜想”的证明，报告结束后仅仅三个月，老爷子就溘然长逝。

  这次报告到底是不是证明了“黎曼猜想”，我没有资格评论，这需要数学界内部进行审查。哪怕就算结果错的，也有可能指出新的突破方向，这在数学史上也层出不穷。留待学界、时间来检验吧。

  但是，黎曼猜想：

  ζ

  函数的所有非平凡零点的实部都是

  1/2

  。

  到底说了什么，能让这位耄耋老人在生命的最后一刻依然向它发起冲锋；让一代代的数学家为之魂系梦绕（大数学家希尔伯特就说过，如果他能复活，第一件事情就是要问问，黎曼猜想证明了吗？）。

  逝者安息，生者传承，下面就以我们的方式尽量数普一下黎曼猜想，把老爷子这份执着传递一二，把无数数学家的这份执着传递一二。

  1 素数

  大于1的自然数中，除了1和该数自身外，无法被其他自然数整除的数称为 素数 （Prime Number），比如 2、3、5、7、11、...... 。

  我们知道素数是无穷的（

  欧几里得定理

  ），也可以通过

  埃拉托斯特尼筛法

  筛出有限个的素数：

  

  但对于素数的整体了解依然非常少，素数似乎是完全随机地掺杂在自然数当中的一样，下面是 1000 以内的素数表，看上去也没有什么规律（你说它越来越稀疏吧， 877、881、883、887又突然连着出现 4 个素数，和 10 以内的素数个数一样多）：

  

  别说素数的精确分布了，就是随机抽取一个足够大的自然数出来，要检验它是否是素数都需要经过一番艰苦的计算。

  以研究素数为核心的数论，在数学家眼中就是：

  数学是科学的皇后，数论是数学的皇后。

  ----高斯

  你可能会有一个疑问，研究素数干嘛？可以改善生活吗？提高寿命吗？粮食增产吗？移民火星吗？

  当然可以给出一些现实的理由，比如流行的区块链中的加密算法就依赖于素数分布的一些理论。但是随着了解的深入，我发现对于数学家而言这些根本不重要，不足以构成驱使他们前进的动力。正如有人询问著名登山家乔治·马洛里“为什么要登山”，马洛里回答道：“因为山在那里”：

  

  数学家研究素数的理由很简单，因为它在那里。数论可能才是最纯粹的数学，才是数学的初心。

  2 素数计数函数

  先根据之前给出的素数表绘制一个函数图像：

  

  纵坐标

  π(n)

  表示的是 n 以内素数的个数。比如从图像上可以看出：

  π(n) = 4

  这个意思就是 10 以内有 4 个素数（我们知道分别是，2、3、5、7 ）。这个

  π(n)

  被称为 素数计数函数（Prime-counting function）。

  得到素数的精确分布目前还属于天方夜谭，数学家就退而求其次，想知道

  π(n)

  到底是多少？这就是几千年来素数研究的核心问题。

  3 素数定理

  高斯和勒让德猜测：

  π(x) ≈ x/ln x

  后来又有改进的猜测：

  π(x) ≈ Li(x) = ∫_2^x 1/ln t dt

  把这三个函数图像放在一起，看上去好像确实可以看作近似，并且后者近似还要好一些：

  

  这两个猜测，尤其是后者，都可以称为 素数定理（The Prime Theory），只是此时还没有证明。

  4 《论小于一个给定值的素数的个数》

  格奥尔格·弗雷德里希·波恩哈德·黎曼（1826－1866）德国数学家，黎曼几何学创始人，复变函数论创始人之一：

  

  1859年黎曼被任命为柏林科学院的通讯院士，作为见面礼，黎曼提交了他唯一关于数论的论文，也是唯一完全不包含几何概念的论文，《论小于一个给定值的素数的个数》：

  

  这篇论文总共只有

  9页

  ，却可以名列最难读的论文之列（黎曼显然高估了阅读者的水平，其中不少结论都没有给出证明，因为他觉得不证自明、一目了然。但是事实是，比如其中证明的一小步，都花费了后人46年的时间才证明出来），同时又是素数研究领域最重要的一篇论文。

  听这个论文的名字也知道这篇论文是关于 π(x) 的，确实，在这篇文章中，黎曼居然给出了素数计数函数的准确表达式：

  

  先不管这个函数的细节，看到没，黎曼压根就没有理会什么素数定理，直接给出了 π(x) 的精确表达式，这就是王霸之气，不玩擦边球，来就直捣黄龙，解决主帅。

  5 黎曼猜想

  π(x) 的表达式并不简单。想想也可以理解，要是初等数学就可以解决的问题，很可能早就被欧拉、高斯这两位数学守门员（形容不要想在这两位大神手里捡漏）给征服了。

  π(x) 这个函数分为两部分：

  黎曼素数计数函数：就是式子中的 J(x) ，下面是它的代数表达式：

  

  J(x) 实际上是黎曼给出的对 π(x) 的近似，也称作 黎曼素数计数函数 ，这个代数表达式的含义之后会细说。

  修正项：也就是

  μ(n)/n ，

  其中

  μ(n)

  称为莫比乌斯函数，具体的代数表达式如下：

  

  整个式子的意思就是，通过修正项调整之后，黎曼给出的素数计数函数 J(x) 就完全等于 π(x) 了。

  5.1

  函数与非平凡零点

  要把 J(x) 介绍清楚，先得引入一个 ζ 函数 ：

  

  为什么自变量用 s ，不用 x 呢？因为这是定义在复数域上的函数，而复数域习惯用 s 来表示自变量（之前我就介绍过了，实数的问题如果解决不了，

  可以尝试升维到复数中去

  ）。

  如果尝试解下面与 ζ(s) 函数相关的方程：

  ζ (s) = 0

  这个方程的解有无数多个，可以分为两类：

  平凡解：s = -2n ，也就是所有负偶数。这个解看上去就比较简单，也很容易求，所以叫做平凡解，也叫做 ζ 函数的平凡零点

  非平凡解：s=a+bi ，也就是复数解。这类解就很复杂，现在都没有求出所有的解，而且估计求出这所有解的难度不亚于求出素数的精确分布，目前只是通过暴力运算求出了一些。所以叫做非平凡解，也叫做 ζ 函数的 非平凡零点

  至此，黎曼猜想中最重要的两个名词都出现了： ζ 函数、非平凡零点。

  5.2 黎曼素数计数函数

  好，回头再来看 J(x) ：

  

  这个函数有4部分：

  第一项 Li(x) ：这个是之前提到过的，关于 π(x) 的一个近似

  第二项是一个累加：其中 ρ

  就是指的 ζ 函数的非平凡零点，就是说把 x 关于所有非平凡零点的 ρ

  次方加起来

  第三项 ln2 ：一个常数

  第四项是一个积分：x 越大，这项越趋近于0，在 x=2 时取得最大值 0.1400101......，也不是很重要

  之前也说了，J(x) 本身就是对 π(x) 的近似，当 0 个非平凡零点时得到的图像如下（蓝色的线条是 J(x) ）：

  

  200个的非平凡零点 ρ

  （通过暴力计算得到）参与运算时（也就是第二项累加项），J(x) 非常贴合 π(x) ，近似效果比素数定理要好得多：

  

  5.3 黎曼猜想

  通过上面的分析，如果可以知道 ζ 函数的所有非平凡零点 ρ ，那么就可以得到精确的 π(x) 。但是非平凡零点 ρ

  求解的难度似乎不亚于得到素数精确分布的难度，怎么办？

  如果知道 ρ

  的范围也可以（下面 Re( ρ ) 表示 ρ

  的实部）：

  如果0 < Re( ρ ) < 1 ：那么素数定理成立，这已经被证明了，历史上素数定理最初也是据此证明出来的

  如果 Re( ρ ) = 1/2 ：这其实就是黎曼猜想的另外一种描述。如果黎曼猜想成立的，那就可以证出：

  

  也就是知道素数定理中的 Li(x) 到底与真正的 π(x) 有多大的误差。

  证明了黎曼猜想，我们就在素数分布上进了一大步。但这只是开始，离真正的素数分布还差得很远。

  6 《素数之恋》

  希望大家读完这篇文章可以对黎曼猜想有一个粗糙的了解，当然还有很多的疑问：

  ζ 函数的非平凡零点 ρ 怎么就和素数的分布有关系？

  ζ 函数是怎么扩张到复数域的？

  为什么黎曼会猜想 Re( ρ ) = 1/2 ？

  J(x) 怎么就长那个样子？

  μ(n) 定义成这样有什么动机？

  关于非平凡零点 ρ 目前我们知道哪些？

  ......

  你可以把这篇文章看作一个大纲，或者《素数之恋》的读书笔记，所有的细节基本上都可以在这本书中找到。这本书也是我觉得写得最好的关于黎曼猜想的书。

  7 写在后面的

  黎曼这篇天才论文开辟了一个时代，其中很多结论虽然未经证明，但对于数学家这不啻于一座宝藏。

  黎曼其人，出生贫寒，又遇上欧洲动荡、秩序重建，贵族自身难保，使得他很难像以往天才数学家一样可以获得贵族的资助。贫病交加之下黎曼40岁就因肺结核去世。仿佛天妒英才，上帝好像不想让人类过早地就拆穿了它所有的秘密。

  如果黎曼活得长一些，说不定黎曼猜想就可以在他自己手中解决。不过不管怎样，素数的秘密，正如希尔伯特所说，“我们必须知道，我们必将知道”：